Invertierbarkeit Bedingungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:15 Do 27.10.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallo, ich habe diese Aufgabe auch aus Versehen in das Oberstufenforum gepostet...
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin, wie ich weiter machen soll.
Sei M = eine Matrix vom Typ (2,2) mit reellen Einträgen a, b, c, d. Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, dass es eine Matrix N = [mm] \pmat{ x & y \\ z & t } [/mm] gibt mit
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ x & y \\ z & t } [/mm] =
Berechnen Sie die Matrix N, falls es sie gibt. Beweisen Sie ihre Aussagen.
Hinweis: Verwenden Sie den Begriff der Determinante einer Matrix.
So, als notwendige Bedingung habe ich, dass M nicht die Nullmatrix sein darf. Ist das richtig? Den Beweis dafür hab ich auch.
Jetzt bei der hinreichenden Bedingung bin ich mir nciht sicher. Dafür müsste M doch invertierbar sein, oder? Aber wie beweise ich das denn?
Und die Berechnung von N dürfte ich auch richtig haben:
N = [mm] M^{-1} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{det(M)}*M^{t} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{ad-bc}*\pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm]
= [mm] \pmat{ \bruch{d}{ad-bc} & \bruch{-b}{ad-bc} \\ \bruch{-c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc}} [/mm]
oder ist die Komplementärmatrix [mm] \pmat{ a & -c \\ -b & d }? [/mm] Ich habe nämlich diese beiden Varianten gefunden, weiß jetzt aber nciht, welche richtig ist...
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Hi Phoebe,
Bist Du sicher, dass es heisst:
N = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] und nicht
N = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ?
Denn in diesem Fall waere die notwendige und hinreichende Bedingung, dass det M [mm] \not= [/mm] 0
Denn Du schreibst ja in Deinem Betreff: "Bedingungen fuer Invertierbarkeit".
Gruesse, margarita
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Hi,
also die notwendige Bedingung ist klar, hinreichend ist, daß [mm] det(M)\not=0 [/mm] ist, also ist M invertierbar wenn [mm] ad\not=bc [/mm] ist.
Die Inverse
hast du richtig berechnet> Hallo, ich habe diese Aufgabe auch aus Versehen in das
> N = [mm]M^{-1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{det(M)}*M^{t}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{ad-bc}*\pmat{ d & -b \\ -c & a }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ \bruch{d}{ad-bc} & \bruch{-b}{ad-bc} \\ \bruch{-c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc}}[/mm]
das ist die Inverse!
>
> oder ist die Komplementärmatrix [mm]\pmat{ a & -c \\ -b & d }?[/mm]
und das die Komplementärmatrix, die NICHT die Inverse ist, du hast doch die INverse gesucht oder?
LG
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Do 27.10.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hi Britta, danke für die Hilfe.
Also, die Inverse ist schon mal richtig- gut =)
Aber welche ist denn Nun die Komplementärmatrix?
Die [mm] \pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm] oder die [mm] \pmat{ a & -c \\ -b & d }?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Aber welche ist denn Nun die Komplementärmatrix?
> Die [mm]\pmat{ d & -b \\ -c & a }[/mm] oder die [mm]\pmat{ a & -c \\ -b & d }?[/mm]
Die erstere!
Der Eintrag an der Stelle $(i,j)$ der Komplementärmatrix $adj(A)$ entsteht dadurch, dass man aus der Ursprungsmatrix $A$ die $j$-te Zeile und $i$-te Spalte streicht und von der dann entstehenden Matrix die Determinante bildet. Davor kommt dann noch der Vorfaktor [mm] $(-1)^{i+j}$.
[/mm]
Also: Wie kommen wir an den Eintrag $(1,2)$ (erste Zeile, zweite Spalte)?
Wir streichen die zweite Zeile und erste Spalte und bilden die Determinante (da wir hier eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix erhalten, ist die Determinante einfach der einzig verbleibende Eintrag). Wir haben also:
[mm] $adj(A)_{1,2} [/mm] = [mm] (-1)^{1+2} \cdot \det(b) [/mm] = -b$.
Weiterhin gilt:
[mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{adj(A)}{\det(A)}$,
[/mm]
falls $A$ invertierbar ist.
Liebe Grüße
Stefan
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