Invertierbarkeit Blockmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 02.12.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und seien [mm]A_{11} \in R^{n_{1} , n_{1}}, A_{12} \in R^{n_{1} , n_{2}}[/mm], [mm]A_{21} \in R^{n_{2} , n_{1}}[/mm] und [mm]A_{22} \in R^{n_{2} , n_{2}}[/mm]. Weiter sei A = [mm]\pmat{ A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} } \in R^{n_{1}+n_{2},n_{1}+n_{2}}[/mm].
Sei [mm]A_{11} \in GL_{n_{1}}(R).[/mm] Zeigen Sie: A ist genau dann invertierbar, wenn [mm]A_{22}[/mm] - [mm]A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}[/mm]
invertierbar ist.
Finden Sie eine Formel für [mm]A^{-1},[/mm] falls A invertierbar
ist. |
Hallo Leute,
ich weis, dass diese Frage bereits im Forum hier gestellt wurde, allerdings ist mir die Antwort nicht ganz schlüssig etc.
Deshalb hoffe ich hier, dass es mir jemand erklären kann.
Also ich weiß aus dem Tutorium, dass wenn [mm] A_{11} \in GL_{n}(R) [/mm] ist, folgt
[mm] \pmat{ A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} }=\pmat{ I_{n1} & 0 \\ A_{21}A_{n}^{-1} & I_{n2} } \pmat{ A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} } \pmat{ I_{n1} & A_{11}^{-1}A_{12} \\ 0 & I_{n2}A_{12?} }
[/mm]
Bin mir gerade am Schluß nicht sicher.
Ich weiß, das Produkte von invertierbaren Matrizen invertierbar ist und denke, dass man zeigen könnte das die Zerlegung von A invertierbar ist. Aber ich weiß nicht so recht wie.
Hat jemand ne Ahnung und teilt diese mit mir?
Silfide
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Mo 03.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Wirf mal Google an und schau was rauskommt, wenn Du "Schurkomplement" eingibst.
FRED
|
|
|
| |
|
Die Hinrichtung ist machbar aber wie macht man die Rückrichtung ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:19 Mo 03.12.2012 | | Autor: | metam |
Ich hab dieselbe Aufgabe und hänge auch noch an der Hinrichtung... Schurkomplement steht erst einige Seiten weiter in unserem Skript, wir haben abgesehen von dem Eingangspost als infos nur die Elementarmatrizen, keine Determinante o.ä.
Mein Ansatz war, dass ich annehme A ist invertierbar, dann gibt es eine (Block)matrix B mit B11, B12, B21, B22 für die gilt: A*B =In (In entspricht Einheitsmatrix).
Damit hab ich dann folgende Gleichungen aufgestellt:
A11*B11+A21*B21=In1
A11*B12+A12*B22=0
A21*B11+A22*B21=0
A21*B12+A22*B22=In2
Durch umformen komme ich auf:
B12=-A11^-1*A12*B22
durch einsetzen komme ich auf:
-A21*A11^-1*A12 = In2-A22*B22
*edith: hab hier nen Fehler übersehen, es muss heißen:
-A21*A11^-1*A12*B22 =In2-A22*B22 bzw.
A22*B22-A21*A11^-1*A12*B22=In2.
und das is der Punkt an dem ich seit ner Stunde sitz und nich weiterweiß... für tipps (auch zur Rückrichtung) wäre ich dankbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 05.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 05.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
