Invertierbarkeit einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
folgende Matrix soll auf Invertierbarkeit überprüft werden:
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
Meines Erachtens ist die nicht invertierbar, da Rang A "nicht voll ist"..
Nach Gauss
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
Sehe ich das richtig?
Gruss
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Hallo, also eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht null ist. Wenn du diesen Begriff noch nicht gehört hast, dann musst du eine Matrix B finden, für die gilt A*B=E, wobei E die Einheitsmatrix ist.
Da musst du ein geeignetes LGS aufstellen und die Einträge [mm] b_{11}, b_{12},
[/mm]
[mm] b_{21} [/mm] und [mm] b_{22} [/mm] berechnen. Wenn du bei der Lösung auf keinen Widerspruch stößt, ist die Matrix invertierbar.
Zu der Variante mit der Determinante (Geht viel schneller!):
det A=2*1-1*1=1
Also ist A invertiebar.
VG mathmetzsch
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Danke dir für die schnelle Antwort..
Das mit der Determinante habe ich ganz vergessen..
Und als Matrix B hätte ich nun [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] (=inverse Matrix?) anzubieten.
Ist das ok?
Und noch eine Frage.. Wieso gilt für eine nilpotente n x n A Matrix stets rang A < n? Wie kann ich das zeigen/beweisen?
Gruss
granini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Und als Matrix B hätte ich nun [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
> (=inverse Matrix?) anzubieten.
> Ist das ok?
Ohne nachgerechnet zu haben: nein. Dann müsste deines Ausgangsmatrix auch Diagonalform haben - hat sie aber nicht. Da musst du dich verrechnet haben - wie hast du die Matrix denn bestimmt?
> Und noch eine Frage.. Wieso gilt für eine nilpotente n x n
> A Matrix stets rang A < n? Wie kann ich das
> zeigen/beweisen?
Also alle Matrizen haben schonmal maximal den Rang n - klar, oder? Was ist jetzt mit dem Kern von nilpotenten Matrizen? Was folgt also für den Rang?
SEcki
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Die Matrix habe ich nach dem Schema A*B=E bestimmt..
$ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] $ * $ [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] $=$ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
Für eine nilpotente Matrix sollte der Kern = {1} sein, oder? Also sollte [mm] rang A \le n [/mm] sein...
Gruss
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Hallo,
also ich habe deine Matrix mal ![[]](/images/popup.gif) hier eingegeben und es kam
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 2 }
[/mm]
heraus. Berechnen wir doch mal das Produkt deiner Matrizen. Weißt du wie das geht? Ansonsten mal nachlesen. Das Produkt deiner Matrizen ist
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0,5 & -1 }\not=E
[/mm]
Folglich musst du dich verrechnet haben.
Bei einer nilpotenten Matrix ist der Kern gerade nicht trivial. Sonst macht ja die Definition keinen Sinn.
Okay, hoffe damit sind alle Fragen beantwortet.
VG mathmetzsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich habe hier eine Antwort, die zu anderen Ergebnissen, als die andere antwort kommt, also stelle ich sie mal auf falsch ...
> Die Matrix habe ich nach dem Schema A*B=E bestimmt..
Das ist kein Schema - hier musst du b immer noch raten. also wie hast du sie berechnet?
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 } [/mm]=[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Das stimmt halt einfach nicht, das Ergebnis ist [m][mm] \pmat{ 1 & -1 \\ \bruch{1}{2} & -1 }
[/mm]
> Für eine nilpotente Matrix sollte der Kern = {1} sein,
> oder?
Nein, stimmt eben nicht - was soll den überhaupt 1 sein? Vielleicht [m]\{0\}[/m]? Das ist aber sicher falsch - da der EKrn ja eben nicht-trivial ist.
SEcki
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Hallo,
B muss überhaupt nicht geraten werden. Das läuft auf ein LGS hinaus, das gelöst werden muss.
Aus A*B=E kann man dieses aufstellen und lösen (s. 1. Antwort!)
Bei der nilpotenten Matrix habe ich mich zugegeben geirrt. Ich hätte vielleicht doch noch mal ins Buch gucken sollen.
VG daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> B muss überhaupt nicht geraten werden. Das läuft auf ein
> LGS hinaus, das gelöst werden muss.
Das weiß ich auch ... aber so wie es da stand, kontne man nciht ablesen - maximal raten.
> Bei der nilpotenten Matrix habe ich mich zugegeben geirrt.
Die -multiplikation der Matrizen ist immer noch falsch imo.
SEcki
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Hallo,
Danke euch beiden für die Rückmeldung..
Also, wie folgt..
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1}*\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 2} [/mm]
[mm] \pmat{ 2*1 & 1*(-1) \\ 2*(-1) & 1*2} \pmat{ 1*1 & 1*(-1) \\ 1*(-1) & 1*2}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm]
Und was ist denn nun der Kern von nuilpotenten Matrizen? Da komme ich wirklich nicht so ganz weiter...?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also, wie folgt..
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1}*\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 2}[/mm]
> [mm]\pmat{ 2*1 & 1*(-1) \\ 2*(-1) & 1*2} \pmat{ 1*1 & 1*(-1) \\ 1*(-1) & 1*2}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
Hm? Das folgt durch ausrechnen. Wie meinst du das? Du kannst schon die Inverse einer Matrix berechnen - oder?
> Und was ist denn nun der Kern von nuilpotenten Matrizen? Da
> komme ich wirklich nicht so ganz weiter...?
Der ist nicht-trivial - also die Dimension größer als 0. Was folgt für den Rang? Das sage ich jetzt nicht vor, das steht doch bestimmt im Skript/Buch/...
SEcki
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Hallo,
also die inverse Matrix berechne ich nach Gauss..
Gibt es andere Möglichkeiten?
Ok wg
dim Kern A = n - rang A , folgt n<rang A
oder?
Gruss und Danke
Fruchtsaft
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Hallo,
also mir würde zumindest keine einfallen, aber das ist doch eine nette Variante. Aufwendig, aber einfach. Wenn's mal schnell gehen soll, benutzt du einfach den Link, den ich oben gepostet habe.
Rest: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
VG Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Für kleine Matrizen gibt es ja explizite Lösungsformeln, etwa
[mm] $\pmat{a & b \\ c & d}^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{ad-bc} \pmat{d & -b \\ -c & a}$.
[/mm]
Dies sind praktische Beispiele für die Anwendung der Cramerschen Regel, die allerdings für größere $n$ unpraktisch sind (zu viele Rechenoperationen nötig).
Gauß ist hier am besten... D.h. Bringe die zu invertierende Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix und führe parallel alle Operationen an der Einheitsmtrix durch. Dies so manipulierte Einheitsmatrix ist dann die Inverse...
Liebe Grüße
Stefan
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