Invertierbarkeit von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:29 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}}
[/mm]
Für welche Werte von a, b , c ∈ [mm] \IR [/mm] ist A invertierbar? |
Hallo Leute, also die Aufgabe wurde vorgerechnet und ich habe mir das ganze notiert:
det [mm] A=\vmat{ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} } [/mm] |Z1*(-1) |+Z2 |+Z3
[mm] \gdw \vmat{ 1 & a & a^{2} \\ 0 & b-a & b^{2}-a^{2} \\ 0 & c-a & c^{2}-a^{2} } [/mm] = [mm] \vmat{ b-a & b^{2}-a^{2} \\ c-a & c^{2}-a^{2} }
[/mm]
[mm] =\vmat{ b-a & (b+a) (b-a) \\ c-a & (c+a) (c-a)}
[/mm]
= (b-a) (c-a) [mm] \vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a } [/mm]
= (b-a) (c-a) ((c+a)-(b+a))
=(b-a) (c-a) (c-b)
[mm] A^{-1} [/mm] existiert [mm] \gdw [/mm] det A [mm] \not=0\gdw a\not=b [/mm] und [mm] a\not=c [/mm] und [mm] b\not=c.
[/mm]
Die rot markierten Abschnitte verunsichern mich etwas. Also er hat scheibar zuerst (b-a) und (c-a) quasi ausgeklammert und vor die Matrix geschrieben. Darf man aber (b-a) * (c-a) hintereinander schreiben. Die zwei Faktoren beziehen sich schließlich auf unterschiedliche Zeilen. Und wie kommt er nun von [mm] \vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a } [/mm] auf ((c+a)-(b+a))? Hat er da die Zeilen voneinander subtrahiert oder wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Do 11.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi Eugen,
> = (b-a) (c-a) [mm]\vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a }[/mm]
>
> er hat scheibar zuerst (b-a) und (c-a) quasi ausgeklammert
> und vor die Matrix geschrieben. Darf man aber (b-a) *
> (c-a) hintereinander schreiben.
das darf er, da die Determinante linear in jeder Spalte (bzw. Zeile) ist.
Das heißt
[mm] det(a^1,a^2,...,\lambda_1*a^j,...,\lambda_2*a^l,...,a^z)=\lambda_1*det(a^1,a^2,...,a^j,...,\lambda_2*a^l,...,a^z)=\lambda_2*\lambda_1*det(a^1,a^2,...,a^j,...,a^l,...,a^z), [/mm]
wobei [mm] a^i [/mm] i=1,...,z Spaltenvektoren sind.
> Und wie kommt
> er nun von [mm]\vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a }[/mm] auf ((c+a)-(b+a))?
Du hast am Ende nur noch [mm] \vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a } [/mm] zu berechnen; also die Determinante einer [mm] 2\times{2} [/mm] - Matrix. Wie berechnet man die Determinante einer [mm] 2\times{2} [/mm] - Matrix?
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
Achso, jetzt verstehe ich den Schritt, vielen Dank.
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