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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Invertierbarkeit von Matrizen
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Invertierbarkeit von Matrizen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:29 Do 11.06.2009
Autor: Owen

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}} [/mm]
Für welche Werte von a, b , c ∈ [mm] \IR [/mm] ist A invertierbar?

Hallo Leute, also die Aufgabe wurde vorgerechnet und ich habe mir das ganze notiert:
det [mm] A=\vmat{ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} } [/mm]  |Z1*(-1) |+Z2 |+Z3

[mm] \gdw \vmat{ 1 & a & a^{2} \\ 0 & b-a & b^{2}-a^{2} \\ 0 & c-a & c^{2}-a^{2} } [/mm] = [mm] \vmat{ b-a & b^{2}-a^{2} \\ c-a & c^{2}-a^{2} } [/mm]

[mm] =\vmat{ b-a & (b+a) (b-a) \\ c-a & (c+a) (c-a)} [/mm]

= (b-a) (c-a) [mm] \vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a } [/mm]

= (b-a) (c-a) ((c+a)-(b+a))

=(b-a) (c-a) (c-b)

[mm] A^{-1} [/mm] existiert [mm] \gdw [/mm] det A [mm] \not=0\gdw a\not=b [/mm] und [mm] a\not=c [/mm] und [mm] b\not=c. [/mm]

Die rot markierten Abschnitte verunsichern mich etwas. Also er hat scheibar zuerst (b-a) und (c-a) quasi ausgeklammert und vor die Matrix geschrieben. Darf man aber  (b-a) * (c-a)  hintereinander schreiben. Die zwei Faktoren beziehen sich schließlich auf unterschiedliche Zeilen. Und wie kommt er nun von [mm] \vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a } [/mm] auf ((c+a)-(b+a))? Hat er da die Zeilen voneinander subtrahiert oder wie?

        
Bezug
Invertierbarkeit von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Do 11.06.2009
Autor: barsch

Hi Eugen,


> = (b-a) (c-a) [mm]\vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a }[/mm]
>

> er hat scheibar zuerst (b-a) und (c-a) quasi ausgeklammert
> und vor die Matrix geschrieben. Darf man aber  (b-a) *
> (c-a)  hintereinander schreiben.

das darf er, da die Determinante linear in jeder Spalte (bzw. Zeile) ist.

Das heißt

[mm] det(a^1,a^2,...,\lambda_1*a^j,...,\lambda_2*a^l,...,a^z)=\lambda_1*det(a^1,a^2,...,a^j,...,\lambda_2*a^l,...,a^z)=\lambda_2*\lambda_1*det(a^1,a^2,...,a^j,...,a^l,...,a^z), [/mm]

wobei [mm] a^i [/mm] i=1,...,z Spaltenvektoren sind.


> Und wie kommt
> er nun von [mm]\vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a }[/mm] auf ((c+a)-(b+a))?

Du hast am Ende nur noch [mm] \vmat{ 1 & b+a \\ 1 & c+a } [/mm] zu berechnen; also die Determinante einer [mm] 2\times{2} [/mm] - Matrix. Wie berechnet man die Determinante einer [mm] 2\times{2} [/mm] - Matrix?

Gruß barsch

Bezug
                
Bezug
Invertierbarkeit von Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 Do 11.06.2009
Autor: Owen

Achso, jetzt verstehe ich den Schritt, vielen Dank.

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