Invertierbarkeit zeigen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei B eine quadratische Matrix und Projektion. Es gelte also [mm] B^2=B [/mm].
Beweisen Sie, dass En+B invertierbar ist und berechnen Sie [mm] (En+B)^-1 [/mm] |
Moin! :)
Nachdem mir hier bisher immer so gut geholfen wurde habe ich gleich noch eine Frage.
Ich weiß einfach nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll. Wahrscheinlich ist es ziemlich einfach, wenn man die richtigen Sachen verknüpft.
Ich nehme an aus dem Beweis kann ich dann schließen, wie ich (En+B)invertieren kann.
Damit B allein invertierbar ist, muss die Matrix maximalen Rang haben, aber wie zeige ich das bei so einem allgemeinen Fall?
Da wir zuletzt Determinanten besprochen haben wird es wahrscheinlich damit zu lösen sein, aber wie?
Mir fällt wirklich kein Ansatz ein. Hat jemand einen Tipp für?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Sa 24.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus $ [mm] B^2=B [/mm] $ folgt: B hat höchstens die Eigenwerte 0 oder 1. Warum ?
Dann hat [mm] E_n+B [/mm] nicht den Eigenwert 0. Warum ?
FRED
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Hallo Fred!
Erstmal danke für deine Antwort :)
Wir haben bisher noch keine Eigenwerte behandelt, demensprechend sagt mir das jetzt leider wenig. Gibt es da noch ander Lösungsansätze?
Allerdings enthält eine Projektion nur 1 und 0 als Werte der Matrix, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Sa 24.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Dann machen wir es so:
Sei x [mm] \in Kern(E_n+B). [/mm] Es ex. also ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit Bx=-x.
Dann ist $B^2x=-Bx=-(-x)=x$
Wegeb [mm] B^2=B [/mm] ist aber auch $B^2x=Bx=-x$
Damit ist x= ?
FRED
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Da du nur eine allgemeine Eigenschaft von B kennst, ist es unwahrscheinlich, mit umständlichen Dimensions- und Eigenwertbetrachtungen zu experimentieren, da ja die Matrix E+B und nicht B selber invertiert werden soll. Wie geht man vor?
Vermutlich ist das Inverse wieder eine Kombination von E und B, evtl. von deren Inversen, wobei man noch nicht einmal weiß, ob B ein inverses hat.
Ansatz: Das Inverse heißt E+k*B.
Lösung: Multipliziere nun (E+B)*(E+kB), benutze [mm] B^2=B [/mm] und überlege, für welches k dann E herauskommt. Auf einmal ist alles ganz einfach...
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