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| Aufgabe | Sei A = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] . Zeigen Sie:
Ist [mm] detA\not=0 [/mm] , so ist A invertierbar und [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{detA} \pmat{ a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} } [/mm] |
so, brauch gleich nochma hilfe und zwar folgendes, laut definitionen und co kom ich schon mit, wieso das mit dem 1/detA * .... ist,
allerdings raff ich gerade nicht, wieso die beiden elemente auf der diagonale vertauscht sind und wieso die andern beiden elemente auf einmal negativ sind
laut der definition, müsste man nur an der hauptdiagonalen spiegeln, so dass sich hier eigl nur das [mm] a_{12} [/mm] und das [mm] a_{21} [/mm] vertauschen, oder was gibt es hier wieder zu beachten ^^
EEE// hab grad noch was entdeckt und zwar, dass man [mm] A_{ik} [/mm] durch [mm] (-1)^{i+k} [/mm] berechnet wird, so is mir schonma klar, wieso die beiden negativ sind, aber immernoch keine ahnung wieso die beiden auf der diagonale vertauscht sind
danke schonmal
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> Sei A = [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm] .
> Zeigen Sie:
>
> Ist [mm]detA\not=0[/mm] , so ist A invertierbar und [mm]A^{-1}=\bruch{1}{detA} \pmat{ a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} }[/mm]
good evening Mr. Boiler,
dies könnte man wohl doch einfach durch Nachrechnen
entscheiden. Führe die Matrixmultiplikation
[mm] \bruch{1}{detA}*\pmat{ a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} }*\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
einfach mal durch !
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ja das mim nachrechnen hatte ich auch vor, aber damit kann ich doch nicht zeigen, dass das gilt oder ?
ich bin soweit, das ich weis warum die nebendiagonale negativ ist, nur frag ich mich gerade wie die beiden auf der hauptdiagonale ausgetauscht wurden,
ich dachte immer bei einer 2x2 matrix rechnet man , wenn man zb. hat [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
1*4 - 3*2 = -2
um in meinem beispiel oben auf die [mm] a_{22} [/mm] zu kommen, müsste ich ja quasi die laplacescher entwicklungssatz nehmen, durch denn dann nurnoch die a22 übrig bleibt, das ist eigentlich das problem das ich habe, fals das verständlich wird
selbiges müsste ja dann auch für die [mm] -a_{12} [/mm] gelten, da ich [mm] (-1)^{3} [/mm] * [mm] a_{21} [/mm] habe und ja noch beachten muss, dass die werte neben der hauptdiagonale gespiegelt werden
ist das die methode, nach der hier gerechnet wurde ?
wenn das stimmt, dann hat sich meine frage eigl erübrigt
lg
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> ja das mim nachrechnen hatte ich auch vor, aber damit kann
> ich doch nicht zeigen, dass das gilt oder ?
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> ich bin soweit, das ich weis warum die nebendiagonale
> negativ ist, nur frag ich mich gerade wie die beiden auf
> der hauptdiagonale ausgetauscht wurden,
> ich dachte immer bei einer 2x2 matrix rechnet man , wenn
> man zb. hat [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
> 1*4 - 3*2 = -2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
allgemein also [mm] det(A)=a_{11}*a_{22}-a_{21}*a_{12}
[/mm]
> um in meinem beispiel oben auf die [mm]a_{22}[/mm] zu kommen, müsste
> ich ja quasi die laplacescher entwicklungssatz nehmen,
> durch denn dann nurnoch die a22 übrig bleibt, das ist
> eigentlich das problem das ich habe, fals das verständlich
> wird
>
> selbiges müsste ja dann auch für die [mm]-a_{12}[/mm] gelten, da ich
> [mm](-1)^{3}[/mm] * [mm]a_{21}[/mm] habe und ja noch beachten muss, dass die
> werte neben der hauptdiagonale gespiegelt werden
>
> ist das die methode, nach der hier gerechnet wurde ?
> wenn das stimmt, dann hat sich meine frage eigl erübrigt
>
> lg
Man muss für diese Aufgabe, so wie sie da steht,
eigentlich keine besonderen Kenntnisse wie
Entwicklungssatz anwenden. Da eine Formel
zur Berechnung der Inversen schon angegeben
wird, genügt zum Nachweis, dass diese tatsächlich
stimmt und dass die Inverse im Fall [mm] det(A)\not=0 [/mm] wirklich
existiert, das Nachrechnen und die Feststellung,
dass das Produkt die Einheitsmatrix ergibt.
Dass eine Matrix B mit B*A=A*B=E , falls es eine solche
überhaupt gibt, eindeutig ist, gehört zu den allge-
meinen Sätzen über Matrizen (bzw. Gruppen)
und muss hier wohl nicht auch noch bewiesen
werden.
LG
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