Involutionen (Gruppentheorie) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 27.05.2013 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | Sei $G$ eine Untergruppe von [mm] $GL_2(K)$ [/mm] mit $K$ Körper.
Mit [mm] $G_0 [/mm] = G [mm] \cap SL_2(K)$ [/mm] seien alle (2x2)-Matrizen mit Determinante 1 definiert.
Sei [mm] $\overline{G_0}:=G_0/\left \langle -1 \right \rangle$.
[/mm]
Zu zeigen:
Die Involutionen von [mm] $\overline{G_0}$ [/mm] sind genau die Bilder in [mm] $\overline{G_0}$ [/mm] von Elementen aus [mm] $G_0$ [/mm] von der Ordnung 4. |
Hallo,
mit der Aufgabe hab ich ein paar Probleme.
Also eine Involution $i$ ist ja definiert als $i [mm] \circ [/mm] i=id$.
Ich definiere nun die Abbildung:
[mm] $$\alpha [/mm] : [mm] G_0 \to \overline{G_0}=G_0/\left \langle -1 \right \rangle, [/mm] \ \ \ [mm] g_0 \mapsto \overline{g_0}=g_0\left \langle -1 \right \rangle$$
[/mm]
Ich verstehe das so:
Zu zeigen ist einerseits (sei [mm] $g_0 \in G_0$):
[/mm]
Wenn [mm] $g_0^4=1$ [/mm] (also die Einheitsmatrix ist), dann ist [mm] $\alpha^2(g_0)=1$ [/mm]
und andererseits:
Wenn [mm] $\overline{g_0}^2=1$ [/mm] ist, dann ist [mm] $g_0^4=1$ [/mm] und es ist [mm] $\alpha(g_0)=\overline{g_0}$.
[/mm]
Hab ich das richtig verstanden?
Wie kann man das zeigen?
Danke und viele Grüße
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Di 28.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]G[/mm] eine Untergruppe von [mm]GL_2(K)[/mm] mit [mm]K[/mm] Körper.
>
> Mit [mm]G_0 = G \cap SL_2(K)[/mm] seien alle (2x2)-Matrizen mit
> Determinante 1 definiert.
>
> Sei [mm]\overline{G_0}:=G_0/\left \langle -1 \right \rangle[/mm].
>
> Zu zeigen:
> Die Involutionen von [mm]\overline{G_0}[/mm] sind genau die Bilder
> in [mm]\overline{G_0}[/mm] von Elementen aus [mm]G_0[/mm] von der Ordnung 4.
> Hallo,
>
> mit der Aufgabe hab ich ein paar Probleme.
>
> Also eine Involution [mm]i[/mm] ist ja definiert als [mm]i \circ i=id[/mm].
>
> Ich definiere nun die Abbildung:
>
> [mm]\alpha : G_0 \to \overline{G_0}=G_0/\left \langle -1 \right \rangle, \ \ \ g_0 \mapsto \overline{g_0}=g_0\left \langle -1 \right \rangle[/mm]
>
> Ich verstehe das so:
> Zu zeigen ist einerseits (sei [mm]g_0 \in G_0[/mm]):
>
> Wenn [mm]g_0^4=1[/mm] (also die Einheitsmatrix ist), dann ist
> [mm]\alpha^2(g_0)=1[/mm]
Achtung: Ordnung $4$ heisst nicht nur [mm] $g_{0}^{4}= [/mm] 1$, sondern auch, dass [mm] $g_{0}^{k}\neq [/mm] 1$, $k=1,2,3$.
>
> und andererseits:
>
> Wenn [mm]\overline{g_0}^2=1[/mm] ist, dann ist [mm]g_0^4=1[/mm] und es ist
> [mm]\alpha(g_0)=\overline{g_0}[/mm].
S.o.
>
> Hab ich das richtig verstanden?
Im Prinzip wohl ja.
>
> Wie kann man das zeigen?
Fang' vielleicht an Dir zu ueberlegen, welche Matrizen der Ordnung $4$ es in [mm] $G_{0}$ [/mm] gibt und was ihr Quadrat ergibt.
>
> Danke und viele Grüße
>
> Kevin
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Hallo,
> Fang' vielleicht an Dir zu ueberlegen, welche Matrizen der
> Ordnung [mm]4[/mm] es in [mm]G_{0}[/mm] gibt und was ihr Quadrat ergibt.
Also ich bin jetzt auf die Matrizen
$$
[mm] A_1=\begin{pmatrix}
i & \alpha \\
0 & -i
\end{pmatrix}, \
[/mm]
[mm] A_2=\begin{pmatrix}
i & 0 \\
\alpha & -i
\end{pmatrix}, \
[/mm]
[mm] A_3=\begin{pmatrix}
-i & \alpha \\
0 & i
\end{pmatrix}, \
[/mm]
[mm] A_4=\begin{pmatrix}
-i & 0 \\
\alpha & i
\end{pmatrix}
[/mm]
$$
(mit [mm] $\alpha \in [/mm] K$ beliebig)
gekommen.
Die haben Determinante 1 und sind von der Ordnung 4. Ich glaube, das sind auch alle Matrizen die in Frage kommen.
Weiter gilt:
$$
[mm] A_j^2 =\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}= -Id_2 \quad \forall [/mm] j=1,...,4
$$
Ist [mm] $\overline{G_0} [/mm] = [mm] G_0/\left \langle -1 \right \rangle [/mm] = [mm] G_0/\left \{ -Id_2, +Id_2 \right \} [/mm] $ ??
Viele Grüße
Kevin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 01.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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