Inzidenzräume < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] (P,\mathcal{G}) [/mm] ein endlicher Inzidenzraum mit gleichmächtigen Geraden. Es sei |P| = v, [mm] |\mathcal{G}| [/mm] = b, |G| = k, [mm] |{G\in\mathcal{G}; x \in G}| [/mm] = [mm] r_{x}
[/mm]
Zeigen Sie:
r:= [mm] r_{x} [/mm] ist konstant und es gilt (v-1) = r*(k-1) und vr = kb |
Für affine Räume ist mir das halbwegs klar, da kenn ich die einzelnen Mächtigkeiten und kann die Ergebnisse wahrscheinlich daraus irgendwie herleiten.
Doch hier habe ich nur allgemeine Inzidenzräume, inwiefern macht das einen Unterschied? Wie gehe ich hier ran?
Danke schon mal im Vorraus...
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Fr 10.11.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Sabine!
[mm] r_{x} [/mm] ist doch die Anzahl der Geraden, die durch den Punkt x gehen. Auf jeder Geraden liegen außer x noch k-1 weitere Punkte, und die Geraden sind disjunkt (wg. Inzidenz). Dann ist aber die Größe der Menge aller Punkte v = [mm] r_{x}*(k-1) [/mm] + 1, und weil das für jeden Punkt x gilt, ist [mm] r_{x} [/mm] konstant.
Wenn die Punkte zählen will, nehme ich Anzahl der Geraden mal Anzahl der Punkte auf einer Geraden, also k*b. Jetzt habe ich aber leider jeden Punkt r-mal erfaßt, weil er auf r Geraden liegt, also muß ich noch durch r teilen. Das ergibt die letzte Gleichung.
Hamburg und die Geometrie - ein interessantes Thema.
Gruß aus Harburg
Dieter
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