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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 25.10.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | a,b,c,d [mm] \in \IQ [/mm]
x [mm] \in \IR [/mm] irrationale Zahlen
wenn gilt : ad - bc [mm] \not= [/mm] 0
dann gilt : y:= [mm] \bruch{ax + b}{cx + d}
[/mm]
Also ich soll nun beweisen wieso y ebenfalls eine irrationale zahl ist.
ih dachte mir dass ich versuche einen widerspruch zu konstruieren indem ich sage y sein eine rationale zahl [mm] y=\bruch{e}{f} [/mm] aber da komm ich auch nicht weiter.
Könnte mir jemand einen Tipp geben?
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> a,b,c,d [mm]\in \IQ[/mm]
> y, x [mm]\in \IR[/mm] irrationale Zahlen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> wenn gilt : ad - bc [mm]\not=[/mm] 0
>
> dann gilt : y:= [mm]\bruch{ax + b}{cx + d}[/mm]
> Also ich soll nun
> beweisen wieso y ebenfalls eine irrationale zahl ist.
> ih dachte mir dass ich versuche einen widerspruch zu
> konstruieren indem ich sage y sei eine rationale zahl
> [mm]y=\bruch{e}{f}[/mm] aber da komm ich auch nicht weiter.
Hallo Ayame,
Wenn oben schon vorausgesetzt ist, dass y irrational
sein soll, dann gibt es eigentlich gar nichts mehr zu
beweisen !
Ich nehme aber an, dass Folgendes gemeint war:
Nur von x wird Irrationalität vorausgesetzt; a,b,c,d
seien rational. Nun ist zu zeigen, dass auch y irrational
sein muss.
Die Idee mit dem Widerspruchsbeweis (eigentlich
Beweis durch Kontraposition) ist gut.
Geh also einfach mal von der Gleichung aus, löse
sie nach x auf. Zeige, dass dann (unter den gege-
benen Voraussetzungen und mit der Annahme, dass
y rational sei) auch x rational sein müsste.
LG
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 25.10.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | x [mm] \in \IR
[/mm]
a,b,c,d [mm] \in \IQ
[/mm]
[mm] y:=\bruch{ax + b}{cx + d} [/mm] |
Also nehme ich an y sei rational.
Soll ich dann y als einen bruch schreiben und wie stell ich denn hier am besten nach x um ?
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> x [mm]\in \IR[/mm]
> a,b,c,d [mm]\in \IQ[/mm]
>
> [mm]y:=\bruch{ax + b}{cx + d}[/mm]
> Also nehme ich an y sei
> rational.
> Soll ich dann y als einen bruch schreiben
Das ist eigentlich gar nicht nötig. Nur im Hinter-
kopf behalten (und im Beweis aufschreiben), dass
a,b,c,d und y rationale Zahlen sein sollen.
> und wie stell ich
> denn hier am besten nach x um ?
Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner
und bringe dann alle x auf eine Seite der
Gleichung. Dann x ausklammern ...
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 25.10.2009 | | Autor: | Ayame |
y = [mm] \bruch{ax + b}{cx + d} /\*cx+d
[/mm]
y(cx + d) = ax + b
ycx + dy = ax + b /-ax /-dy
cxy - ax = b - dy
x(cy - a) = b - dy [mm] /\*cy-a
[/mm]
x = [mm] \bruch{b - dy}{cy - a}
[/mm]
Und wenn ich davon ausgehe dass y eine rationale Zahl wäre dann wäre auch x rational. Kann ich das noch irgendwie anschaulicher zeigen. Oder nur durch probeeinsetzen ?
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Hallo,
ich denke, dass Produkte und Summen rationaler Zahlen wieder rationale Zahlen sind, kann man als bekannt voraussetzen. Ansonsten musst du das noch kurz zeigen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 25.10.2009 | | Autor: | Ayame |
x= [mm] \bruch{b - dy}{cy - a}
[/mm]
Ist das soweit richtig ? Kann ich da den Widerspruch noch irgendwie veranschaulichen oder einen erklärenden text dazuschreiben ?
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> x= [mm]\bruch{b - dy}{cy - a}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig ?
Ja!
> Kann ich da den Widerspruch noch
> irgendwie veranschaulichen oder einen erklärenden text
> dazuschreiben ?
Siehe andere Antwort.
P.S. Es reicht eine Frage einmal zu stellen.
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