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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:37 Do 17.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | | Es sei p,q element von Q+ und [mm] \sqrt{p} [/mm] sei irrational. Ferner sei a,b element von Q, a ungleich 0. Beweisen Sie, dass [mm] a*\sqrt{p} [/mm] + [mm] b*\sqrt{q} [/mm] entweder irrational oder gleich Null ist. |
hi,
ich habe diese aufgabe und weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll bzw. wie ich sowas beweise...kann mir vielleicht jemand einen hinweis geben? :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:40 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei p,q element von Q+ und [mm]\sqrt{p}[/mm] sei irrational.
> Ferner sei a,b element von Q, a ungleich 0. Beweisen Sie,
> dass [mm]a*\sqrt{p}[/mm] + [mm]b*\sqrt{q}[/mm] entweder irrational oder
> gleich Null ist.
> hi,
>
> ich habe diese aufgabe und weiß überhaupt nicht wie ich
> anfangen soll bzw. wie ich sowas beweise...kann mir
> vielleicht jemand einen hinweis geben? :)
Nimm an, [mm]a*\sqrt{p}[/mm] + [mm]b*\sqrt{q}[/mm] sei rational. Wenn Du diesen Ausdruck durch a teilst, bekommst Du:
[mm]\sqrt{p}[/mm] + [mm]c*\sqrt{q}[/mm] [mm] \in \IQ,
[/mm]
wobeic=b/a ist.
Also ex. ein r [mm] \in \IQ [/mm] mit:
[mm]\sqrt{p}[/mm] + [mm]c*\sqrt{q}[/mm] =r,
Dann folgt: [mm] c*\sqrt{q}=r-\sqrt{p}.
[/mm]
Jetzt quadriere. Dann unterscheide die beiden Fälle r=0 und r [mm] \ne [/mm] 0.
Im Falle r=0 bist Du fertig.
Im Falle r [mm] \ne [/mm] 0 bekommst Du einen Widerspruch. Welchen ?
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Do 17.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
habe jetzt das gemacht:
c * [mm] \sqrt{q} [/mm] = r - [mm] \sqrt{p}
[/mm]
(c * [mm] \sqrt{q})^2 [/mm] = (r - [mm] \sqrt{p})^2
[/mm]
[mm] c^2 [/mm] * q = [mm] r^2 [/mm] - 2r * [mm] \sqrt{p} [/mm] + p
Sei r = 0
[mm] c^2 [/mm] * q = p
c * [mm] \sqrt{q} [/mm] = [mm] \sqrt{p}
[/mm]
b/a * [mm] \sqrt{q} [/mm] = [mm] \sqrt{p}
[/mm]
b * [mm] \sqrt{q} [/mm] = a * [mm] \sqrt{p} [/mm]
stimmt das und wie geht man bei r ungleich 0 vor? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> habe jetzt das gemacht:
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> c * [mm]\sqrt{q}[/mm] = r - [mm]\sqrt{p}[/mm]
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> (c * [mm]\sqrt{q})^2[/mm] = (r - [mm]\sqrt{p})^2[/mm]
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> [mm]c^2[/mm] * q = [mm]r^2[/mm] - 2r * [mm]\sqrt{p}[/mm] + p
>
> Sei r = 0
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> [mm]c^2[/mm] * q = p
>
> c * [mm]\sqrt{q}[/mm] = [mm]\sqrt{p}[/mm]
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> b/a * [mm]\sqrt{q}[/mm] = [mm]\sqrt{p}[/mm]
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> b * [mm]\sqrt{q}[/mm] = a * [mm]\sqrt{p}[/mm]
>
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> stimmt das
Nein.
Es ist [mm] \wurzel{c^2}=|c|
[/mm]
Wir hatten:
$ [mm] \sqrt{p} [/mm] $ + $ [mm] c\cdot{}\sqrt{q} [/mm] $ =r,
Wenn r=0 ist, dann ist $ [mm] \sqrt{p} [/mm] $ + $ [mm] c\cdot{}\sqrt{q} [/mm] $ =0 und damit auch $ [mm] a*\sqrt{p} [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}\sqrt{q} [/mm] $ =0
Sei r [mm] \ne [/mm] 0.
Löse die Gl.
$ [mm] c^2 [/mm] $ * q = $ [mm] r^2 [/mm] $ - 2r * $ [mm] \sqrt{p} [/mm] $ + p
nach [mm] \sqrt{p} [/mm] auf. Was stellst Du fest ?
FRED
> und wie geht man bei r ungleich 0 vor? :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Do 17.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
habs aufgelöst:
[mm] c^2 [/mm] * q = [mm] r^2 [/mm] -2r * lim [mm] \sqrt{p} [/mm] + p
[mm] c^2 [/mm] * q - p - [mm] r^2 [/mm] = -2r * [mm] \sqrt{p}
[/mm]
[mm] -((c^2 [/mm] * q - p - [mm] r^2) [/mm] / (2r)) = [mm] \sqrt{p}
[/mm]
aber was soll mir das jetzt sagen? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> habs aufgelöst:
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> [mm]c^2[/mm] * q = [mm]r^2[/mm] -2r * lim [mm]\sqrt{p}[/mm] + p
Was macht das "lim" da oben ?
>
> [mm]c^2[/mm] * q - p - [mm]r^2[/mm] = -2r * [mm]\sqrt{p}[/mm]
>
> [mm]-((c^2[/mm] * q - p - [mm]r^2)[/mm] / (2r)) = [mm]\sqrt{p}[/mm]
>
> aber was soll mir das jetzt sagen? :(
Wieviele Winke mit wievielen Zaunpfählen brauchst Du noch ?
Da c,p,q und r allesamt aus [mm] \IQ [/mm] stammen, sagt Dir die linke Seite der letzten Gleichung, das [mm] \sqrt{p} \in \IQ [/mm] ist.
Das widerspricht aber der Vor. [mm] \sqrt{p} \notin \IQ [/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Do 17.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
sorry der limes war ein versehen^^ jetzt ist mir alles klar, danke für die hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Do 17.11.2011 | | Autor: | Morha |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> scheint so, als wären wir auf derselben uni ^^
>
> sarah88, würdest du mir vielleicht die lösungen von
> aufgabe 9 und aufgabe 10 auf dem blatt an meine email
> schicken?
>
> b_bein@yahoo.de
>
>
> wäre nett, stehe da ein bissel auf dem schlauch ^^
Toll, wie diese Forum mißbraucht wird...
FRED
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