www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Irrationalität (1+sqrt(2))^n
Irrationalität (1+sqrt(2))^n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Irrationalität (1+sqrt(2))^n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 So 13.10.2013
Autor: Moebius

Aufgabe
Zeige:
Für $n [mm] \in \IZ$, [/mm] $n [mm] \neq [/mm] 0$ ist die Zahl $(1 + [mm] \sqrt(2))^n$ [/mm] stets irrational.


ich komme bei dieser Aufgabe gerade nicht weiter. Meine Idee war, die Aussage zunächst nur für $n [mm] \in \IN$ [/mm] zu zeigen. Mein Ansatz ist zunächst davon auszugehen, dass der Ausdruck rational ist und dies dann auf einen Widerspruch zu führen. Komme aber leider nicht auf einen Widerspruch.
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Irrationalität (1+sqrt(2))^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 So 13.10.2013
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Zeige:
> Für [mm]n \in \IZ[/mm], [mm]n \neq 0[/mm] ist die Zahl [mm](1 + \sqrt(2))^n[/mm]
> stets irrational.

>

> ich komme bei dieser Aufgabe gerade nicht weiter. Meine
> Idee war, die Aussage zunächst nur für [mm]n \in \IN[/mm] zu
> zeigen. Mein Ansatz ist zunächst davon auszugehen, dass
> der Ausdruck rational ist und dies dann auf einen
> Widerspruch zu führen. Komme aber leider nicht auf einen
> Widerspruch.
> Danke im Voraus!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Nimm dir mal für [mm] n\in\IN [/mm] den Binomischen Lehrsatz her.

[mm] (1+\sqrt{2})^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot 1^{k}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{n-k} [/mm]

Außerdem könnte helfen, dass [mm] (\sqrt{2})^{2m}=2^{m} [/mm] aber [mm] (\sqrt{2})^{2m+1}=2^{m}\cdot\sqrt{2} [/mm]

In deiner Summe tauchen also bei allen Summanden mit ungeradem k (und die gibt es in für alle n im Binomischen Lehrsatz) Ausdrücke der Form [mm] 2^{\frac{k-1}{2}}\cdot\sqrt{2} [/mm] auf, also mit einer Irrationalzahl.

Für negative n beachte [mm] $(1+\sqrt{2})^{-n}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})^{n}}$ [/mm]
Auf diesen Ausdruck kannst du nun wieder die Überlegungen von oben anwenden.

Marius

Bezug
        
Bezug
Irrationalität (1+sqrt(2))^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Mo 14.10.2013
Autor: fred97

Definiere  die Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] durch

[mm] a_1:=b_1:=1 [/mm]

und [mm] a_{n+1}:=a_n+2b_n, b_{n+1}=a_n+b_n [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 2)

und zeige (induktiv):

1. [mm] a_n,b_n \in \IN [/mm] für alle n [mm] \in \IN; [/mm]

2. [mm] (1+\wurzel{2})^n=a_n+b_n*\wurzel{2} [/mm]  für alle n [mm] \in \IN. [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Irrationalität (1+sqrt(2))^n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 Mo 14.10.2013
Autor: felixf

Moin,

> Definiere  die Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] durch
>  
> [mm]a_1:=b_1:=1[/mm]
>
> und [mm]a_{n+1}:=a_n+2b_n, b_{n+1}=a_n+b_n[/mm] (n [mm]\ge[/mm] 2)
>  
> und zeige (induktiv):
>  
> 1. [mm]a_n,b_n \in \IN[/mm] für alle n [mm]\in \IN;[/mm]
>  
> 2. [mm](1+\wurzel{2})^n=a_n+b_n*\wurzel{2}[/mm]  für alle n [mm]\in \IN.[/mm]

und wenn man 0 als natuerliche Zahl auffasst, sollte man auch noch zeigen, dass immer [mm] $b_n [/mm] > 0$ gilt :-)

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]