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| Aufgabe | | Verallgemeinerung des Beweises der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid |
Hallo,
ich versuche gerade die "Verallgemeinerung des Beweises der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid", wie auf Wikipedia dargestellt, zu verstehen.
Ich habe an zwei Stellen Probleme diesen Beweis zu verfolgen .
Dort heist es:
Die Beweisidee Euklids lässt sich auf den allgemeinen Fall der k-ten Wurzel aus einer beliebigen natürlichen Zahl n, die keine k-te Potenz ist, erweitern:
Wenn n keine k-te Potenz ist (nicht darstellbar also [mm] n=z^{k} [/mm] für eine natürliche Zahl z, dann ist [mm] {\sqrt[ {k}]{n}} [/mm] irrational.
Beweis: Anstelle der einfachen gerade-ungerade-Argumentation verwendet man hier allgemein die Existenz einer eindeutigen Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen. Der Beweis erfolgt wieder indirekt: Angenommen, es gelte [mm] {\sqrt[ {k}]{n}}={\tfrac ab} [/mm] mit natürlichen Zahlen a,b. Es ist zu zeigen, dass dann n eine k-te Potenz ist, d. h., dass [mm] {\tfrac ab} [/mm] sogar eine natürliche Zahl ist. Zunächst folgt durch einfache Umformung, dass [mm] n\cdot b^{k}=a^{k} [/mm] gilt. Sei p eine beliebige Primzahl. In der Primfaktorzerlegung vonn bzw. a bzw. b trete p genau mit der Vielfachheit [mm] e_n [/mm] bzw. [mm] e_{a} [/mm] bzw. [mm] e_{b} [/mm] auf.
Dann folgt sofort [mm] e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a}
[/mm]
( Hier habe ich das erste Problem; warum folgt hier sofort [mm] e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a} [/mm] ? )
, wegen [mm] e_{n}\geq [/mm] 0 auf jeden Fall also [mm] e_{b}\leq e_{a}. [/mm] Da dies für jede Primzahl p gilt, muss b in der Tat ein Teiler von a sein, also ist [mm] {\tfrac ab} [/mm] eine natürliche Zahl und n ist deren k-te Potenz.
Einfache Folgerung aus dem Irrationalitätssatz:
[mm] {\sqrt[{n}]{n}}
[/mm]
ist irrational für alle natürlichen Zahlen > 1 (weil n nicht n-te Potenz einer natürlichen Zahl > 1 sein kann).
( Hier folgt das nächste Verständnissproblem, ich verstehe nicht warum n nicht n-te Potenz einer natürlichen Zahl > 1 sein kann ?)
Es würde mich freuen, wenn mir hier jemand diese Stellen erläutern könnte. Vielen Dank im voraus.
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Hallo,
> Verallgemeinerung des Beweises der Irrationalität der
> Wurzel aus 2 bei Euklid
> Hallo,
> ich versuche gerade die "Verallgemeinerung des Beweises
> der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid", wie auf
> Wikipedia dargestellt, zu verstehen.
>
>
> Ich habe an zwei Stellen Probleme diesen Beweis zu
> verfolgen .
>
> Dort heist es:
>
> Die Beweisidee Euklids lässt sich auf den allgemeinen Fall
> der k-ten Wurzel aus einer beliebigen natürlichen Zahl n,
> die keine k-te Potenz ist, erweitern:
>
> Wenn n keine k-te Potenz ist (nicht darstellbar also
> [mm]n=z^{k}[/mm] für eine natürliche Zahl z, dann ist [mm]{\sqrt[ {k}]{n}}[/mm]
> irrational.
>
> Beweis: Anstelle der einfachen
> gerade-ungerade-Argumentation verwendet man hier allgemein
> die Existenz einer eindeutigen Primfaktorzerlegung für
> natürliche Zahlen. Der Beweis erfolgt wieder indirekt:
> Angenommen, es gelte [mm]{\sqrt[ {k}]{n}}={\tfrac ab}[/mm] mit
> natürlichen Zahlen a,b. Es ist zu zeigen, dass dann n eine
> k-te Potenz ist, d. h., dass [mm]{\tfrac ab}[/mm] sogar eine
> natürliche Zahl ist. Zunächst folgt durch einfache
> Umformung, dass [mm]n\cdot b^{k}=a^{k}[/mm] gilt. Sei p eine
> beliebige Primzahl. In der Primfaktorzerlegung vonn bzw. a
> bzw. b trete p genau mit der Vielfachheit [mm]e_n[/mm] bzw. [mm]e_{a}[/mm]
> bzw. [mm]e_{b}[/mm] auf.
>
> Dann folgt sofort [mm]e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a}[/mm]
>
> ( Hier habe ich das erste Problem; warum folgt hier sofort
> [color=red][mm]e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a}[/mm] ? [/color])
>
Nun, per Definition steckt der Primfaktor Faktor p [mm] e_n-mal [/mm] in n, [mm] e_b-mal [/mm] in b und [mm] e_a-mal [/mm] in a. Da a und b in der umgeformen Gleichung zur k. Potenz erhoben sind, verfielfacht sich das Vorkommen dieses Faktors um das k-fache. Zusammenzählen der Vorkommen von p auf beiden Seiten ergibt die obige Gleichung.
> , wegen [mm]e_{n}\geq[/mm] 0 auf jeden Fall also [mm]e_{b}\leq e_{a}.[/mm]
> Da dies für jede Primzahl p gilt, muss b in der Tat ein
> Teiler von a sein, also ist [mm]{\tfrac ab}[/mm] eine natürliche
> Zahl und n ist deren k-te Potenz.
>
> Einfache Folgerung aus dem Irrationalitätssatz:
>
> [mm]{\sqrt[{n}]{n}}[/mm]
>
> ist irrational für alle natürlichen Zahlen > 1 (weil n
> nicht n-te Potenz einer natürlichen Zahl > 1 sein kann).
>
> ( Hier folgt das nächste Verständnissproblem, ich
> [color=red]verstehe nicht warum n nicht n-te Potenz einer natürlichen [/color]
> Zahl > 1 sein kann ?)
>
Das ist offensichtlich klar. Wie sollte etwa 157 die 157. Potenz einer (kleineren) natürlichen Zahl sein?
Scherz beiseite: ich denke, ganz so einfach ist es nicht. Um das zu beweisen braucht man vermutlich die Eigenschaften der Funktion [mm] f(x)=x^x, [/mm] insbesondere die Tatsache, dass diese Funktion für [mm] x>e^{-1} [/mm] streng monoton seigt, und zwar schneller als jede Exponentialfunktion.
EDIT: nein, das geht natürlich viel einfacher. Siehe dazu den folgenden Beitrag von Gonozal_IX.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Do 02.03.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Um das zu beweisen braucht man vermutlich die Eigenschaften
> der Funktion [mm]f(x)=x^x,[/mm] insbesondere die Tatsache, dass
> diese Funktion für [mm]x>e^{-1}[/mm] streng monoton seigt, und zwar
> schneller als jede Exponentialfunktion.
wie war das mit der Kanone und den Spatzen?
Zeige per vollständiger Induktion: [mm] $2^n [/mm] > n$ und damit folgt für jede natürliche Zahl $k>1$ dass [mm] $k^n \ge 2^n [/mm] > n$
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Do 02.03.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
>
> > Um das zu beweisen braucht man vermutlich die Eigenschaften
> > der Funktion [mm]f(x)=x^x,[/mm] insbesondere die Tatsache, dass
> > diese Funktion für [mm]x>e^{-1}[/mm] streng monoton seigt, und zwar
> > schneller als jede Exponentialfunktion.
>
> wie war das mit der Kanone und den Spatzen?
>
> Zeige per vollständiger Induktion: [mm]2^n > n[/mm] und damit folgt
> für jede natürliche Zahl [mm]k>1[/mm] dass [mm]k^n \ge 2^n > n[/mm]
>
Ja, da hast du Recht, danke für den Hinweis. Ich werde meine Antwort noch dementsprechend abändern (ich bin halt nicht so der diskrete Typ und greife daher gerne mal zur Kanone.  ).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 Fr 03.03.2017 | | Autor: | Windbeutel |
Vielen Dank für Eure Hilfe,
besonders bei dem ersten Problem hatte ich echt Tomaten auf den Augen.
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