Irred.Polynom in \IR[X] < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu zeigen:
Ein irreduzibles Polynom in [mm] \IR[X] [/mm] ist entweder linear, also von der Form aX-b mit a [mm] \in \IR-{0} [/mm] und b [mm] \in \IR, [/mm] oder quadratisch, also von der Form [mm] aX^{2}+bX+c [/mm] mit a,b,c [mm] \in \IR [/mm] und [mm] b^{2}-4ac [/mm] <0. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe bereits gelöst, bin mir aber unsicher, ob sie so richtig ist. Deshalb würde es mich freuen, wenn mal jemand drüber schauen könnte. 
f(X):=aX-b mit a [mm] \in \IR-{0} [/mm] und b [mm] \in \IR [/mm] ist also ein lineares Polynom, d.h. von Grad 1, also irreduzibel, da alle Polynome von Grad 1 irreduzibel sind, d.h. sie haben eine Nullstelle in [mm] \IR. [/mm] Kann ich so argumentieren? Oder ist das kein richtiger Beweis?
Oder:
[mm] g(X):=aX^{2}+bX+c, [/mm] also quadratisch, d.h. Grad (g)=2. Ein Polynom von GRad 2 ist bekanntlich genau dann irreduzibel, wenn es keinerlei Nullstellen in [mm] \IR [/mm] besitzt, dies ist dann der Fall, wenn die Diskriminante der "Mitternachtsformel" negativ ist, also [mm] b^{2}-4ac [/mm] <0.
Kann ich auch hier so einfach begründen?
Aber ich muss hier ja auch zeigen, dass die irred. Ppolynome in [mm] \IR[X] [/mm] tatsächlich nur lineare oder quadratische Form annehmen können, und nicht vom höheren Grad ( als 1 oder 2). Aber wieso sollte es keine irred. Polynome in [mm] \IR[X] [/mm] geben mit, z.b. Grad 3 oder 4 usw??
Denn es gilt ja allgemein für Polynome, deren Grad größer gleich 4 ist, die keine Nullstellen über IR haben, dass sie irreduzibel sind. Für Grad =3 ist das Polynom genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstellen in [mm] \IR [/mm] hat (vgl. Grad 2).
Wie kann ich das zeigen, dass nichts anderes in Frage kommt?
Vielen Dank für die Hilfe.
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Mi 20.12.2006 | | Autor: | MacMath |
Hallo Milka
> .... Aber wieso sollte es keine irred.
> Polynome in [mm]\IR[X][/mm] geben mit, z.b. Grad 3 oder 4 usw??
> Denn es gilt ja allgemein für Polynome, deren Grad größer
> gleich 4 ist, die keine Nullstellen über IR haben, dass sie
> irreduzibel sind.
Nein, es gilt dass sie keine Nullstellen haben, aber sie könnten das Produkt
zweier irreduziblen Polynome vom Grad 2 sein. Denke diesen Gedanken weiter um auf die anderen Grade zu kommen.
Ich werde erst mal dazu keinen weiteren Tipp geben, außer:
Für ungeraden Grad kann es hilfreich sein sich die Lemiten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] anzusehen (Polynome sind stetig).
Ich hoffe du kommst so schon einmal weiter, viel Erfolg
> Für Grad =3 ist das Polynom genau dann
> irreduzibel, wenn es keine Nullstellen in [mm]\IR[/mm] hat (vgl.
> Grad 2).
> Wie kann ich das zeigen, dass nichts anderes in Frage
> kommt?
> Vielen Dank für die Hilfe.
> Milka
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Hallo,
ich habe mich vertippt: Ein Polynom von Grad 4, dass keine Nullstellen hat, ist reduzibel.
Ein Polynom 4.Grades kann ich doch zerlegen in 2 Polynome 2.Grades, wie du das ja gesagt hat: [mm] f(x)=aX^{4}+bX^{3}+...=a(X^{2}+...)(X^{2}+...) [/mm] Also ist das Polynom 4.Grades reduzibel, da die beiden Polynome 2.Grades jeweils irreduzibel sind. Ist doch richtig so, oder? Meine Frage hierzu: Kann ich ein Polynom 4.Grades immer in 2 irreduzible Polynome 2.Grades zerlegen, oder wuerde es auch Polynome 2.Grades geben, die nicht irreduzibel sind? Weil dann koennte ich nichts mehr aussagen darueber. In der Angabe der Aufgabe ist mir nicht ganz klar, ob man hier immer ein Polynom 2.Grades als irreduzibel voraussetzen kann. Denn es ist ja nur dann irred.,wenn es keine Nullstellen hat.
Ein Polynom 3.Grades zerlege ich in 2 Faktoren mit jeweils Grad 1 und 2. Da aber jedes Polynom 1.Grades irreduzibel ist, und ich aber nicht weiss, ob das Polynom 2.Grades irreduzibel oder reduzibel (meine Frage von weiter oben) sein kann, kann ich nichts aussagen. Denn wenn ein Faktor irred. ist und der andere reduzibel, dann kann man auch nichts ueber das Produkt der beiden Faktoren aussagen...
Was meinst du mit den Limiten fuer ungerades n=Grad f?
Ich habe doch dann die folgende Gestalt: [mm] f(X)=aX^{n}+bX^{n-1}+cX^{n-2}+...
[/mm]
Meine Idee hierzu waere, dass man das irgendwie auf Polynome 1. und 2.Grades zurueckfuheren koennte. Aber ich weiss nicht genau, wie man da vorgehen muss.
Und was ist mit dem Fall, wenn n gerade ist? Kann ich das auch mit dem Limes betrachten? Ich weiss nicht genau, was du mit dem Limes meinst.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Vielen Dank.
Milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Fr 22.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Der Hauptsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren zerfällt. Daraus folgt doch, dass jedes Polynom über [mm] \IR [/mm] in Linearfaktoren und/oder quadratische Formen zerfällt mit konjugiert-komplexen Nullstellen.
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Hallo Otto,
danke für deinen Hinweis. Den werde ich sicher gebrauchen können. Muss ich bei der Aufgabe also gar nicht zeigen, dass andere Grade höher als 2 gar nicht in Frage kommen (siehe vorheriges Posting)? Denn es stellt sich ja die Frage, warum nur entweder Grad 1 oder 2.
> Der Hauptsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom über
> [mm]\IC[/mm] in Linearfaktoren zerfällt. Daraus folgt doch, dass
> jedes Polynom über [mm]\IR[/mm] in Linearfaktoren und/oder
> quadratische Formen zerfällt mit konjugiert-komplexen
> Nullstellen.
Die konjugiert komplexen Nullstellen sind in [mm] \IR [/mm] doch gar nicht erlaubt?
Weil da habe ich nicht ganz verstanden wie man das verallgemeinert für n [mm] \in \IN. [/mm] Und mir wurde der Hinweis gegeben, mir die Limiten anzuschauen. Aber ich hab das nicht ganz verstanden, wenn f nun folgende Form hat: [mm] f(X)=a^{n}X+b^{n-1}X+cX^{n-2}+..., [/mm] deg f= n.
Danke, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 26.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Milka
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt doch, dass jedes komplexe Polynome in Linearfaktoren zerlegbar ist. Oder mit anderen Worten, dass in [mm] $\IC[x]$ [/mm] nur die linearen Polynome irreduzibel sind. Die Linearfaktoren sind von der Form [mm] $x-\lambda$, [/mm] wobei [mm] $\lambda$ [/mm] eine Nullstelle ist.
Da jedes reelle Polynom auch komplex ist, lässt sich jedes reelle Polynom über [mm] $\IC$ [/mm] in Linearfaktoren zerlegen. Ist [mm] $\lambda\notin\IC$ [/mm] eine echt komplexe Nullstelle, so ist [mm] $\bar\lambda$ [/mm] ebenfalls eine komplexe Nullstelle und die beiden Linearfaktoren [mm] $(x-\lambda)(x-\bar\lambda)$ [/mm] bilden als Produkt einen reellen Faktor.
mfG Moudi
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Hallo,
danke für die Tipps. Man bestrachtet also nur die reellen Polynome mit geradem Grad, weil die mit ungeradem Grad haben ja mindestens eine reelle Nullstelle und sind damit reduzibel.
Das ist doch so richtig?
Ich versteh aber nicht warum z.b. ein Polynom vom Grad 4 oder 6 usw keine Nullstelle in [mm] \IR [/mm] hat. Woher weiß man das sofort, wie kann man das allgemein zeigen? Der Fundamentalsatz begründet ja diese Frage nicht.
> Der Fundamentalsatz der Algebra besagt doch, dass jedes
> komplexe Polynome in Linearfaktoren zerlegbar ist. Oder mit
> anderen Worten, dass in [mm]\IC[x][/mm] nur die linearen Polynome
> irreduzibel sind. Die Linearfaktoren sind von der Form
> [mm]x-\lambda[/mm], wobei [mm]\lambda[/mm] eine Nullstelle ist.
>
> Da jedes reelle Polynom auch komplex ist, lässt sich jedes
> reelle Polynom über [mm]\IC[/mm] in Linearfaktoren zerlegen. Ist
> [mm]\lambda\notin\IC[/mm] eine echt komplexe Nullstelle, so ist
> [mm]\bar\lambda[/mm] ebenfalls eine komplexe Nullstelle und die
> beiden Linearfaktoren [mm](x-\lambda)(x-\bar\lambda)[/mm] bilden als
> Produkt einen reellen Faktor.
Zu deinem letzten Satz:
Folgt dann daraus, dass alle Polynome 2.Grades in [mm] \IR [/mm] irreduzibel sind, weil [mm] (x-\lambda)(x-\bar\lambda) [/mm] keine Nullstelle in [mm] \IR [/mm] hat?
Ich hoffe, du erklärst es mir, denn mir ist es noch etwas unklar.
Danke,
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Mi 27.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Milka
Aus meinen Ausführungen sollte man 3 Folgerungen ziehen:
(1) Ist p(x) ein reelles Polynom mit der reellen Nullstelle a, so ist p(x) durch das reelle Polynom x-a ohne Rest teilbar.
(2) Ist p(x) ein reelles Polynom mit der nichtreellen Nullstelle a, so ist p(x) durch das relle (!) Polynom [mm] $(x-a)(x-\bar a)=x^2-2\Re(a) x-|a|^2$ [/mm] ohne Rest teilbar.
(3) Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, jedes Polynom besitzt eine reelle oder komplexe Nullstelle.
Die für dich relevanten Folgerungen kannst du noch selber schliessen.
mfG Moudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mi 27.12.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna,
> danke für die Tipps. Man bestrachtet also nur die reellen
> Polynome mit geradem Grad, weil die mit ungeradem Grad
> haben ja mindestens eine reelle Nullstelle und sind damit
> reduzibel.
> Das ist doch so richtig?
Ja.
> Ich versteh aber nicht warum z.b. ein Polynom vom Grad 4
> oder 6 usw keine Nullstelle in [mm]\IR[/mm] hat.
Es gibt Polynome vom Grad 4 oder 6, die Nullstellen in [mm] $\IR$ [/mm] haben. Aber dann sind sie bereits reduzibel (siehe Antwort von moudi), etwa $(x - [mm] 1)^4$ [/mm] oder $(x - [mm] 1)^6$. [/mm] Weiterhin gibt es aber auch Polynome von Grad 4 oder 6, die keine Nullstellen in [mm] $\IR$ [/mm] haben, etwa [mm] $(x^2 [/mm] + [mm] 1)^2$ [/mm] oder [mm] $(x^2 [/mm] + [mm] 1)^3$. [/mm] Die sind aber trotzdem reduzibel. Und zwar sind sie es ueber [mm] $\IR$ [/mm] immer, das sollst du zeigen. Und nicht, das es reelle Nullstellen (nicht) gibt.
> Woher weiß man das
> sofort, wie kann man das allgemein zeigen? Der
> Fundamentalsatz begründet ja diese Frage nicht.
Der Fundamentalsatz liefert (mit den Hinweisen moudis) die Existenz eines linearen oder quadratischen Faktors mit Koeffizienten in [mm] $\IR$, [/mm] also eine Zerlegung in [mm] $\IR[x]$.
[/mm]
> Zu deinem letzten Satz:
> Folgt dann daraus, dass alle Polynome 2.Grades in [mm]\IR[/mm]
> irreduzibel sind, weil [mm](x-\lambda)(x-\bar\lambda)[/mm] keine
> Nullstelle in [mm]\IR[/mm] hat?
Nur, wenn es keine Nullstelle in [mm] $\IR$ [/mm] hat. Bzw. genau dann. Das Polynom [mm] $x^2 [/mm] + 1$ hat zum Beispiel keine Nullstelle in [mm] $\IR$, [/mm] das Polynom [mm] $x^2 [/mm] - 1$ jedoch schon.
LG Felix
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Hallo felixf,
danke für deine Antwort.
Ich glaub, ich hab nun die Lösung zu der Aufgabe.
Man soll ja zeigen, dass ein irreduzibles Polynom in [mm] \IR[X] [/mm] entweder linear oder quadratisch ist.
Erstmal sind alle Polynome vom Grad 1 irreduzibel in [mm] \IR. [/mm]
Es gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra, dass jedes Polynom in [mm] \IR [/mm] in Linearfaktoren zerfällt oder quadratische Form hat mit komplex-konjugierten Nullstellen: also von der Form (x- [mm] \lambda) [/mm] (x - [mm] \overline{\lambda}), [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] echt komplexe Nullstelle.
Da dies keine Nullstelle in [mm] \IR [/mm] hat, sind die Polynome 2.Grades in [mm] \IR [/mm] irreduzibel.
Polynome mit höheren geradem Grad sind alle reduzibel in [mm] \IR, [/mm] da sie entweder eine Nullstelle in [mm] \IR [/mm] haben, wie [mm] (x-1)^{4} [/mm] oder [mm] (x-1)^{6}, [/mm]
oder sie haben keine Nullstellen in [mm] \IR, [/mm] aber sind Produkt von 2 irreduziblen Polynome, also insgesamt reduzibel. Wie z.B. [mm] (x^{2} +1)^{2} [/mm] oder [mm] (x^{2}+1)^{3}
[/mm]
Polynome mit ungeradem Grad > 2 werden nicht betrachtet, da sie mind. eine reelle Nullstelle haben und somit reduzibel sind.
Hab ich das alles so richtig verstanden?
Danke nochmal für die Hilfe!
Viele Grüße,
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Fr 29.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Anna!
> Ich glaub, ich hab nun die Lösung zu der Aufgabe.
> Man soll ja zeigen, dass ein irreduzibles Polynom in
> [mm]\IR[X][/mm] entweder linear oder quadratisch ist.
> Erstmal sind alle Polynome vom Grad 1 irreduzibel in [mm]\IR.[/mm]
Das ist richtig, aber nicht das Problem.
> Es gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra, dass jedes
> Polynom in [mm]\IR[/mm] in Linearfaktoren zerfällt oder quadratische
> Form hat mit komplex-konjugierten Nullstellen: also von der
> Form (x- [mm]\lambda)[/mm] (x - [mm]\overline{\lambda}),[/mm] mit [mm]\lambda[/mm]
> echt komplexe Nullstelle.
Dein Deutsch ist ungenau. Nach dem Fundamentalsatz zerfällt jedes Polynom aus [mm]\IR[/mm][X] über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren Punkt Die Linearfaktoren kann man nach den [mm]\lambda[/mm]'s sortieren: erst die mit reellen [mm]\lambda[/mm]'s und dann die mit den echt komplexen, von denen immer 2 zusammengehören, weil sie konjugiert sind. Kurz zur Erinnerung: Wir wollen zeigen, daß reelle Polynome vom Grad [mm] \ge [/mm] 3 reduzibel sind. Aber wenn so ein reeller Linearfaktor auftaucht, dann spaltet der auch über [mm] \IR [/mm] ab, weil es dann ja eine reelle Nullstelle gibt. Das heißt aber doch, daß Polynome mit ungeradem Grad [mm] \ge [/mm] 3 immer reduzibel sind. 2 konjugiert-komplexe Linearfaktoren geben aber ausmultipliziert ein über [mm] \IR [/mm] irreduzibles quadratisches Polynom mit Koeffizienten in [mm] \IR. [/mm] Wenn es nicht irreduzibel wäre, hätte man ja eine Nullstelle in [mm] \IR. [/mm] Wenn ich jetzt ein Polynom vom Grad [mm] \ge [/mm] 3 habe, das keinen Linearfaktor abspaltet, ist der Grad notgedrungen gerade, also mindestens 4. Aber dann kriege ich 2 von diesen irreduziblen quadratischen Polynomen, was wiederum heißt, daß das Ding auch über [mm] \IR [/mm] reduzibel ist.
Aus all dem folgt die Behauptung: wenn irreduzibel, dann Grad [mm] \le [/mm] 2.
> Da dies keine Nullstelle in [mm]\IR[/mm] hat, sind die Polynome
> 2.Grades in [mm]\IR[/mm] irreduzibel.
Besser: ... die hier auftauchenden Polynome ...
> Polynome mit höheren geradem Grad sind alle reduzibel in
> [mm]\IR,[/mm] da sie entweder eine Nullstelle in [mm]\IR[/mm] haben, wie
> [mm](x-1)^{4}[/mm] oder [mm](x-1)^{6},[/mm]
> oder sie haben keine Nullstellen in [mm]\IR,[/mm] aber sind Produkt
> von 2 irreduziblen Polynome, also insgesamt reduzibel. Wie
> z.B. [mm](x^{2} +1)^{2}[/mm] oder [mm](x^{2}+1)^{3}[/mm]
>
> Polynome mit ungeradem Grad > 2 werden nicht betrachtet, da
> sie mind. eine reelle Nullstelle haben und somit reduzibel
> sind.
>
> Hab ich das alles so richtig verstanden?
Hoffentlich!
Gruß aus Hamburg
Dieter
PS: Das wollte ich schon gestern schreiben, aber der Matheraum-Server hatte anscheinend Probleme.
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