Irreduzibel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 21.01.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | | Ist [mm] x^{4}+6x+2 \in \IZ_{3} [/mm] [x] irreduzibel? |
Als Lösung wurde uns folgendes gegeben:
[mm] x^{4}+6x+2 \in \IZ_{3} [/mm] [x] ist nicht irreduzibel
[mm] x^{4}+6x+2 [/mm] mod 3 [mm] \Rightarrow x^{4}+2
[/mm]
[mm] x^{4}+6x+2 \in \IZ_{3} [/mm] [x] ist nicht irreduzibel, da es die Nullstelle 0 hat.
Ich versteh nicht wie man von [mm] x^{4}+6x+2 [/mm] mod 3 auf [mm] x^{4}+2 [/mm] kommt und was die Nullstelle damit zu tun hat.
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Danke im voraus
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Da scheint mir einiges durcheinander geraten zu sein. Deine Angaben sind voller Widersprüche und Fehler.
Hast du die Aufgabe wirklich richtig abgeschrieben?
Muß es z.B. am Anfang [mm]\in \mathbb{Z}_3[/mm] heißen oder nicht einfach nur [mm]\in \mathbb{Z}[/mm]?
Grundsätzlich gilt: Man kann aus der Reduzibilität über [mm]\mathbb{Z}[/mm] auf die Reduzibilität über [mm]\mathbb{Z} \mod 3[/mm] schließen. Ebenso kann man aus der Irreduzibilität über [mm]\mathbb{Z} \mod 3[/mm] auf die Irreduzibilität über [mm]\mathbb{Z}[/mm] schließen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 21.01.2006 | | Autor: | cloe |
Die Aufgabenstelltung ist richtig. Wie würde denn der richtige Ansatz für die Aufgabe lauten, wenn die vorgegebene Lösung falsch ist? Ich komm auf keine gescheite Lösung:-/
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Hallo,
naja du sollst überprüfen, ob das Polynom mod(3) irreduzibel ist! Welche möglichen Nullstellen mod(3) gibt es? 0,1 und 2. Einsetzen und schauen, ob mod(3) null rauskommt!
f(0)=2 , 0 keine Nullstelle
f(1)=1+6+2=9, 1 ist Nullstelle mod(3)
Damit ist f in [mm] \IZ_{3} [/mm] reduzibel und damit auch...
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 21.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo cloe
> Ist [mm]x^{4}+6x+2 \in \IZ_{3}[/mm] [x] irreduzibel?
> Als Lösung wurde uns folgendes gegeben:
>
> [mm]x^{4}+6x+2 \in \IZ_{3}[/mm] [x] ist nicht irreduzibel
>
> [mm]x^{4}+6x+2[/mm] mod 3 [mm]\Rightarrow x^{4}+2[/mm]
da 6=0 mod3 , da könnte also auch 3x oder 9x oder 72x stehen.
> [mm]x^{4}+6x+2 \in \IZ_{3}[/mm] [x] ist nicht irreduzibel, da es
> die Nullstelle 0 hat.
Nullstelle 0 ist falsch, da [mm] 0^4=0 [/mm] und [mm] 2\ne0
[/mm]
aber [mm] $x^4+2=0 [/mm] <=> [mm] x^4+3=1 [/mm] <=> [mm] x^4=1 <=>x=\pm1 [/mm] $ -1=2, alles mod3
alsoNullstelle 1 wenn man Nullstellen kennt, kann man faktorisieren also
[mm] $x^4+2=(x^2-1)^2$ [/mm]
> Ich versteh nicht wie man von [mm]x^{4}+6x+2[/mm] mod 3 auf [mm]x^{4}+2[/mm]
> kommt und was die Nullstelle damit zu tun hat.
>
> Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Ich hoff doch!
Gruss leduart.
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