Irreduzibilität in \IR[X] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass in [mm] \IR[X] [/mm] keine irreduziblen Polynome vom Grad >3 existieren |
Hallo zusammen,
ich hänge gerade etwas bei diesem Beweis fest...
Mein Ansatz bisher:
Sei [mm] p(X)\in\IR[X] [/mm] ein Polynom n-ten Grades
[mm] p(X)=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k
[/mm]
Dann hab ich mir gedacht, dass das Ding in [mm] \IC [/mm] ja Nullstellen hat und, dass - wenn [mm] X_N [/mm] eine solche ist, [mm] \overline{X_N} [/mm] ebenfalls.
Also könnte ich doch p zerlegen in:
[mm] p(X)=q(X)(X-X_N)(X-\overline{X_N})=q(X)\underbrace{(X^2-2Re(X_N)X+|X|^2)}_{\in\IR[X]} [/mm] mit deg(q)=deg(p)-2
Ich könnte also ein quadratisches reelles Polynom abspalten.
Was hakt ist, dass es mir nicht geling zu zeigen, dass auch q(X) [mm] \in\IR[X] [/mm] ist.
Vielleicht weiß jemand Rat?
Besten Dank im Voraus
schachuzipus
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Edit: falsches Forum - sorry, kann das bitte jemand der Mods verschieben?
Danke
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AAAh,
es hat gerade KLICK gemacht,
da ich ja eh nur Polynome geraden Grades betrachten muss, spalte ich einfach sukzessive NS und komplex konjugierte NS ab, das Ganze reduziert sich also auf ein Produkt von quadratischen reellen Polynomen.
Also hat sich die Frage erledigt.
Danks trotzdem an alle Leser 
Gruß
schachuzipus
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> Zeigen Sie, dass in [mm]\IR[X][/mm] keine irreduziblen Polynome vom
> Grad >3 existieren
> Hallo zusammen,
>
> ich hänge gerade etwas bei diesem Beweis fest...
>
> Mein Ansatz bisher:
>
> Sei [mm]p(X)\in\IR[X][/mm] ein Polynom n-ten Grades
>
> [mm]p(X)=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k[/mm]
>
> Dann hab ich mir gedacht, dass das Ding in [mm]\IC[/mm] ja
> Nullstellen hat und, dass - wenn [mm]X_N[/mm] eine solche ist,
> [mm]\overline{X_N}[/mm] ebenfalls.
>
Hallo,
wenn Du bereits weißt und verwenden darfst, daß p über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren zerfällt, und daß, sofern komplexe Nullstellen dabei sind, diese jeweils paarweise mit dem konjugiert Komplexen auftauchen, würde ich's so machen:
Ich würde von einem gegebenen Polynom p erst sämtliche reellen Nullstellen abspalten: [mm] p(x)=(x-r_1)...(x-r_m)q(x)
[/mm]
q(x) ist reell, hat keine reellen Nullstellen und zerfällt über [mm] \IC [/mm] in die besagten Paare konjugiert-komplexer Linearfaktoren, ist also ein Produkt von quadratischen reellen Polynomen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
besten Dank.
Es ist schon komisch, wie das manchmal geht.
Mit dem Abschicken der Frage hat es plötzlich *Klick* gemacht..
Liebe Grüße
schachuzipus
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