Irreduzibilität u. Erweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Do 08.04.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Zusammen!
Ich schlage mich zur Zeit mir Irreduzibilität von Polynomen und Erweiterungen herum. Dabei hab ich folgende Frage:
Das Polynom [mm] X^3-2 [/mm] hat über [mm] \IQ [/mm] keine Nullstelle. Allerdings hat es eine über [mm] \IQ (\wurzel[3]{2}). [/mm] Darüber kann ich das Polynom wie folgt schreiben:
(X - [mm] \wurzel[3]{2}) (X^2 [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] X + [mm] \wurzel[3]{4})
[/mm]
wobei [mm] (X^2 [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] X + [mm] \wurzel[3]{4}) [/mm] irreduzibel sein soll über [mm] \IQ (\wurzel[3]{2}). [/mm] Da kommt meine erste Frage. Wie sehen überhaupt Polynome in [mm] \IQ (\wurzel[3]{2}) [/mm] aus?
Eine Zahl in [mm] \IQ (\wurzel[3]{2}) [/mm] hat ja folgende Darstellung :
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta\wurzel[3]{2}, [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta \in \IQ [/mm] sind.
Man weiss, dass [mm] X^3 [/mm] - 2 über [mm] \IQ (\wurzel[3]{2}, e^{\bruch{2i \pi}{3}}) [/mm] in Polynome vom Grad 1. zerfällt. Dabei habe ich folgende Erweiterung :
Das Minimalpolynom von [mm] e^{\bruch{2i \pi}{3}} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ist :
[mm] X^2 [/mm] + X + 1 also ist [mm] [\IQ (e^{\bruch{2i \pi}{3}}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 2. Mich verwirrt dabei, dass die Erweiterung [mm] [\IQ (e^{\bruch{2i \pi}{3}},\wurzel[3]{2}) [/mm] : [mm] \IQ (\wurzel[3]{2})] [/mm] ebenfalls Grad 2 hat. Genauer: Wie kommt man darauf? Mit der Gradformel habe ich ja folgende Gleichung:
[mm] [\IQ (\wurzel[3]{2}, e^{\bruch{2i \pi}{3}}) [/mm] : [mm] \IQ]=[\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2i \pi}{3}}) [/mm] : [mm] \IQ (\wurzel[3]{2})] \cdot [\IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] : [mm] \IQ]
[/mm]
ich weiss, dass [mm] [\IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 3. Von wo weiss ich, dass [mm] [\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2i \pi}{3}}) [/mm] : [mm] \IQ (\wurzel[3]{2})] [/mm] = 2 ist?
Herzlichen Dank für eure Hilfe!
gruss physicus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Do 08.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich schlage mich zur Zeit mir Irreduzibilität von
> Polynomen und Erweiterungen herum. Dabei hab ich folgende
> Frage:
> Das Polynom [mm]X^3-2[/mm] hat über [mm]\IQ[/mm] keine Nullstelle.
> Allerdings hat es eine über [mm]\IQ (\wurzel[3]{2}).[/mm] Darüber
> kann ich das Polynom wie folgt schreiben:
> (X - [mm]\wurzel[3]{2}) (X^2[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] X +
> [mm]\wurzel[3]{4})[/mm]
>
> wobei [mm](X^2[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] X + [mm]\wurzel[3]{4})[/mm] irreduzibel
> sein soll über [mm]\IQ (\wurzel[3]{2}).[/mm] Da kommt meine erste
> Frage. Wie sehen überhaupt Polynome in [mm]\IQ (\wurzel[3]{2})[/mm]
> aus?
Du meinst, Polynome in [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})[X]$? [/mm] Das sind einfach Linearkombinationen der Potenzen von $X$, mit Koeffizienten aus [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})[X]$?
[/mm]
> Eine Zahl in [mm]\IQ (\wurzel[3]{2})[/mm] hat ja folgende
> Darstellung :
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta\wurzel[3]{2},[/mm] wobei [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta \in \IQ[/mm]
Nein, eben nicht! Sie hat eine Darstellung [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta \sqrt[3]{2} [/mm] + [mm] \gamma [/mm] + [mm] \sqrt[3]{2}^2$ [/mm] mit [mm] $\alpha, \beta, \gamma \in \IQ$.
[/mm]
> Man weiss, dass [mm]X^3[/mm] - 2 über [mm]\IQ (\wurzel[3]{2}, e^{\bruch{2i \pi}{3}})[/mm]
> in Polynome vom Grad 1. zerfällt. Dabei habe ich folgende
> Erweiterung :
> Das Minimalpolynom von [mm]e^{\bruch{2i \pi}{3}}[/mm] über [mm]\IQ[/mm] ist
> :
> [mm]X^2[/mm] + X + 1 also ist [mm][\IQ (e^{\bruch{2i \pi}{3}})[/mm] : [mm]\IQ][/mm] =
> 2. Mich verwirrt dabei, dass die Erweiterung [mm][\IQ (e^{\bruch{2i \pi}{3}},\wurzel[3]{2})[/mm]
> : [mm]\IQ (\wurzel[3]{2})][/mm] ebenfalls Grad 2 hat. Genauer: Wie
> kommt man darauf? Mit der Gradformel habe ich ja folgende
> Gleichung:
>
> [mm][\IQ (\wurzel[3]{2}, e^{\bruch{2i \pi}{3}})[/mm] : [mm]\IQ]=[\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2i \pi}{3}})[/mm]
> : [mm]\IQ (\wurzel[3]{2})] \cdot [\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
>
> ich weiss, dass [mm][\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] : [mm]\IQ][/mm] = 3. Von wo
> weiss ich, dass [mm][\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2i \pi}{3}})[/mm]
> : [mm]\IQ (\wurzel[3]{2})][/mm] = 2 ist?
Du kannst die Gradformal auch anders anwenden:
> [mm][\IQ (\wurzel[3]{2}, e^{\bruch{2i \pi}{3}}) : \IQ]=[\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2i \pi}{3}}) : \IQ (e^{\frac{2 i \pi}{3})] \cdot [\IQ (e^{\frac{2 i \pi}{3}) : \IQ][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Daraus folgt, dass $[\IQ (\wurzel[3]{2}, e^{\bruch{2i \pi}{3}}) : \IQ]$ durch $[\IQ (e^{\frac{2 i \pi}{3}) : \IQ] = 2$ teilbar ist. Nach deinem Argument oben mit der Gradformel ist es durch $3 = [\IQ(\sqrt[3]{2}) : \IQ]$ teilbar, womit es durch $kgV(2, 3) = 6$ teilbar ist.
Nun ist aber $[\IQ (\wurzel[3]{2}, e^{\bruch{2i \pi}{3}}) : \IQ] \le 6$, ebenfalls nach der Gradformel (wegen den Minimalpolynomen), womit es gleich 6 sein muss.
Also folgt daraus (wieder mit der Gradformel), dass [mm][\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2i \pi}{3}}) : \IQ (\wurzel[3]{2})] = 2[/mm] ist.
LG Felix
PS: Deine Frage waer einfacher zu beantworten, wenn du [mm]...[/mm] richtig platzieren wuerdest.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Do 08.04.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo felixf!
Das mit [mm] wusste ich nicht. Ich versuch jetzt gleich einmal.
Danke für deine schnelle Antwort, allerdings hätte ich da noch ein paar Zusatzfragen: du hast geschrieben:
Eine Zahl in [mm] \IQ (\wurzel[3]{2})[/mm] habe die folgende Darstellung:
[mm] \alpha + \beta \wurzel[3]{2} + \gamma + \wurzel[3]{2}^2 [/mm]
aber du hast doch sicher gemeint:
[mm] \alpha + \beta \wurzel[3]{2} + \gamma \wurzel[3]{2}^2 [/mm] ?
also haben Polynome aus [mm] \IQ (\wurzel[3]{2})[X] [/mm] Koeffizienten die man aus Linearkombinationen der Zahlen [mm] \alpha + \beta \wurzel[3]{2} + \gamma \wurzel[3]{2}^2 [/mm] mit [mm] \alpha , \beta, \gamma \in \IQ [/mm] bilden kann.
Zum Grad der Erweiterung. Wieso gilt folgende Abschätzung? [mm] [\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ] \le 6 [/mm]. Ich kenne den genauen Wert von [mm] [\IQ (\wurzel[3]{2}:\IQ] [/mm] aber wieso kann ich [mm] [\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ (\wurzel[3]{2})] [/mm] mit [mm] [\IQ (e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ] [/mm] abschätzen?
Danke für deine Ausführungen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Do 08.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > [mm]\alpha + \beta \wurzel[3]{2} + \gamma \wurzel[3]{2}^2[/mm] ?
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja das hatte er vermutlich gemeint.
Ja, das meinte ich.
> > Zum Grad der Erweiterung. Wieso gilt folgende Abschätzung?
> > [mm][\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ] \le 6 [/mm].
> > Ich kenne den genauen Wert von [mm][\IQ (\wurzel[3]{2}:\IQ][/mm]
> > aber wieso kann ich [mm][\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ (\wurzel[3]{2})][/mm]
> > mit [mm][\IQ (e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ][/mm] abschätzen?
>
> Dein ursprüngliches Polynom war [mm]x^3-2,[/mm] hat also Grad 3.
> Die Abschätzung gilt, weil der Zerfällungskörper des
> Polynoms maximal Grad [mm]n!=3!=6[/mm] hat.
> [mm][\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ (\wurzel[3]{2})= [\IQ (e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ][/mm]
> gilt aber auch nach der Translationsformel, weil [mm]\IQ (\wurzel[3]{2})[/mm]
> und [mm]\IQ (e^{\bruch{2 i \pi}{3}})[/mm] disjunkt sind über [mm]\IQ[/mm].
Alternativ: es ist [mm] $[\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ (\wurzel[3]{2})] [/mm] = [mm] [\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ (\wurzel[3]{2})] \cdot [\IQ (\wurzel[3]{2}): \IQ] [/mm] = [mm] [\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ (\wurzel[3]{2})] \cdot [/mm] 3$. Weiterhin ist [mm] $\IQ(\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}) [/mm] = [mm] \IQ(\wurzel[3]{2})(e^{\bruch{2 i \pi}{3}})$, [/mm] und [mm] $e^{\bruch{2 i \pi}{3}}$ [/mm] ist eine Nullstelle von [mm] $X^2 [/mm] + X + 1 [mm] \in \IQ(\wurzel[3]{2})[X]$. [/mm] Also hat das Minimalpolynom von [mm] $e^{\bruch{2 i \pi}{3}}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(\srqt[3]{2})$ [/mm] einen Grad [mm] $\le [/mm] 2$, womit [mm] $[\IQ (\wurzel[3]{2},e^{\bruch{2 i \pi}{3}}): \IQ (\wurzel[3]{2})] \le [/mm] 2$ gilt. Oben eingesetzt bekommt man dann das gesuchte [mm] $\le [/mm] 6$.
LG Felix
|
|
|
|
