Irreduzibilität von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Do 08.04.2010 | | Autor: | eldorado |
| Aufgabe | | Ist [mm] f(x)=x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-5 [/mm] irreduzibel über [mm] \IQ[X] [/mm] |
Hallo!
Mir geht es nicht so konkret um die Aufgabe, sondern vielmehr um allgemeines Verständnis.
Eisenstein hilft mir hier nicht weiter, also versuche ich eine Reduktion modulo n.
f mod 3= [mm] x^{4} [/mm] + 1
So, jetzt habe ich die Möglichkeiten x=0, x=1, x=2
Für die gilt aber alle f mod [mm] 3\not=0
[/mm]
Folgt hieraus jetzt schon die Irreduzibilität über [mm] \IZ_{3} [/mm] somit über [mm] \IZ [/mm] nach Gauß auch über [mm] \IQ?
[/mm]
Oder sagt mir das nur, dass ich keinen Linearfaktor abspalten kann und noch den Fall einer Zerlegung in zwei quadratische Polynome betrachten muss?
In einer Übung hatten wir auch mal die Möglichkeit angesprochen dass Mögliche Nullstellen in einem normierten Polynom nur [mm] \pm a_{0} [/mm] und [mm] \pm a_{n} [/mm] sein können. Allerdings kann ich darüber keinen Satz finden. Kann mich auch nicht mehr erinnern ob es auch 100% so war, wär schön wenn mir das noch jemand bestätigen könnte.
Vielen Dank schon mal,
Gruß eldorado
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Do 08.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ist [mm]f(x)=x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-5[/mm] irreduzibel über [mm]\IQ[X][/mm]
> Hallo!
> Mir geht es nicht so konkret um die Aufgabe, sondern
> vielmehr um allgemeines Verständnis.
>
> Eisenstein hilft mir hier nicht weiter, also versuche ich
> eine Reduktion modulo n.
>
> f mod 3= [mm]x^{4}[/mm] + 1
>
> So, jetzt habe ich die Möglichkeiten x=0, x=1, x=2
>
> Für die gilt aber alle f mod [mm]3\not=0[/mm]
>
> Folgt hieraus jetzt schon die Irreduzibilität über
> [mm]\IZ_{3}[/mm] somit über [mm]\IZ[/mm] nach Gauß auch über [mm]\IQ?[/mm]
Nein. Es besagt nur, dass [mm] $x^4 [/mm] + 1$ in [mm] $\IZ/3\IZ[x]$ [/mm] keinen Linearfaktor hat. Es kann immer noch das Produkt zweier irreduzibler Polynome von Grad 2 sein.
Dazu schreib doch mal alle normierten irreduziblen Polynome von Grad 2 in [mm] $\IZ/3\IZ[x]$ [/mm] auf (sind nicht so viele) und mache jeweils Division mit Rest. Oder, alternativ, berechne den ggT von [mm] $x^4 [/mm] + 1$ und [mm] $x^{3^2} [/mm] - x$ in [mm] $\IZ/3\IZ[x]$. [/mm] (Falls du soviel Koerpertheorie kennst.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 08.04.2010 | | Autor: | eldorado |
Hallo!
> Hallo!
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> > Ist [mm]f(x)=x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-5[/mm] irreduzibel über [mm]\IQ[X][/mm]
> > Hallo!
> > Mir geht es nicht so konkret um die Aufgabe, sondern
> > vielmehr um allgemeines Verständnis.
> >
> > Eisenstein hilft mir hier nicht weiter, also versuche ich
> > eine Reduktion modulo n.
> >
> > f mod 3= [mm]x^{4}[/mm] + 1
> >
> > So, jetzt habe ich die Möglichkeiten x=0, x=1, x=2
> >
> > Für die gilt aber alle f mod [mm]3\not=0[/mm]
> >
> > Folgt hieraus jetzt schon die Irreduzibilität über
> > [mm]\IZ_{3}[/mm] somit über [mm]\IZ[/mm] nach Gauß auch über [mm]\IQ?[/mm]
>
> Nein. Es besagt nur, dass [mm]x^4 + 1[/mm] in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm] keinen
> Linearfaktor hat. Es kann immer noch das Produkt zweier
> irreduzibler Polynome von Grad 2 sein.
Das sagt mir aber auch, dass f keinen Linearfaktor in [mm] \IZ[X] [/mm] hat oder?
> Dazu schreib doch mal alle normierten irreduziblen Polynome
> von Grad 2 in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm] auf (sind nicht so viele) und
> mache jeweils Division mit Rest. Oder, alternativ, berechne
> den ggT von [mm]x^4 + 1[/mm] und [mm]x^{3^2} - x[/mm] in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm]. (Falls
> du soviel Koerpertheorie kennst.)
die irreduziblen Polynome Grad 2 in [mm] \IZ/3\IZ[x] [/mm] müssten ja [mm] x^{2}+1 [/mm] ; [mm] x^{2}+x+2 [/mm] und [mm] x^{2}+2x+2 [/mm] sein oder? f mod 3 lässt sich aber durch keins ohne rest teilen, dh es ist irreduzibel (und somit auch in [mm] \IZ[X] [/mm] und [mm] \IQ[X])
[/mm]
Stimmt das?
Könnte ich alternativ auch die Zerlegung in 2 Polynome 2ten Grades auch durch einen Ansatz mit Koeffizientenvergleich zeigen?
Wenn ich Irreduzibilität durch Reduktion modulo n zeigen will, muss dann n [mm] \in \IN [/mm] prim sein oder nur [mm] n\in \IN?
[/mm]
> LG Felix
>
Vielen Dank und lg eldorado
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das sagt mir aber auch, dass f keinen Linearfaktor in
> [mm]\IZ[X][/mm] hat oder?
Ja.
> > Dazu schreib doch mal alle normierten irreduziblen Polynome
> > von Grad 2 in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm] auf (sind nicht so viele) und
> > mache jeweils Division mit Rest. Oder, alternativ, berechne
> > den ggT von [mm]x^4 + 1[/mm] und [mm]x^{3^2} - x[/mm] in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm]. (Falls
> > du soviel Koerpertheorie kennst.)
>
> die irreduziblen Polynome Grad 2 in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm] müssten ja
> [mm]x^{2}+1[/mm] ; [mm]x^{2}+x+2[/mm] und [mm]x^{2}+2x+2[/mm] sein oder?
Weiß ich nicht - hast dua lle durchprobiert? Wenn ja, dann stimmt's.
> mod 3
> lässt sich aber durch keins ohne rest teilen, dh es ist
> irreduzibel (und somit auch in [mm]\IZ[X][/mm] und [mm]\IQ[X])[/mm]
> Stimmt das?
Wenn deine Rechnung stimmt (kann ich ja nicht überprüfen ohne selbst zu rechnen ...)
> Könnte ich alternativ auch die Zerlegung in 2 Polynome
> 2ten Grades auch durch einen Ansatz mit
> Koeffizientenvergleich zeigen?
Ja. Scheint mir auch eh einfacher als Teilen mit Rest mit 3 Polynomen.
> Wenn ich Irreduzibilität durch Reduktion modulo n zeigen
> will, muss dann n [mm]\in \IN[/mm] prim sein oder nur [mm]n\in \IN?[/mm]
Es ginge jedes n (es ginge für jeden Ring R mit einem Ringhom. [m]\phi:\IZ\to R[/m]). Aber - diese Ringe sind nicht mehr Nullteiler frei, will heissen - es wird wohlmöglich schwieriger, Irreduz. dort zu zeigen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Fr 09.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Dazu schreib doch mal alle normierten irreduziblen Polynome
> > > von Grad 2 in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm] auf (sind nicht so viele) und
> > > mache jeweils Division mit Rest. Oder, alternativ, berechne
> > > den ggT von [mm]x^4 + 1[/mm] und [mm]x^{3^2} - x[/mm] in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm]. (Falls
> > > du soviel Koerpertheorie kennst.)
> >
> > die irreduziblen Polynome Grad 2 in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm] müssten ja
> > [mm]x^{2}+1[/mm] ; [mm]x^{2}+x+2[/mm] und [mm]x^{2}+2x+2[/mm] sein oder?
>
> Weiß ich nicht - hast dua lle durchprobiert? Wenn ja, dann
> stimmt's.
Ja, das sind alle.
> > Könnte ich alternativ auch die Zerlegung in 2 Polynome
> > 2ten Grades auch durch einen Ansatz mit
> > Koeffizientenvergleich zeigen?
>
> Ja. Scheint mir auch eh einfacher als Teilen mit Rest mit 3
> Polynomen.
Es geht 
Modulo [mm] $x^2 [/mm] + 1$: dann ist [mm] $x^2 [/mm] = -1$ (in [mm] $\IZ/3\IZ[x]/(x^2+1)$), [/mm] also [mm] $x^4 [/mm] + 1 = [mm] (-1)^2 [/mm] + 1 = 2$.
Modulo [mm] $x^2 [/mm] + x + 2$: dann ist [mm] $x^2 [/mm] = 2 x + 1$, also [mm] $x^4 [/mm] + 1 = (2 x + [mm] 1)^2 [/mm] + 1 = 4 [mm] x^2 [/mm] + 4 x + 1 + 1 = (2 x + 1) + x + 2 = 3 x + 3 = 0$.
Modulo [mm] $x^2 [/mm] + 2 x + 2$: dann ist [mm] $x^2 [/mm] = x + 1$, also [mm] $x^4 [/mm] + 1 = (x + [mm] 1)^2 [/mm] + 1 = [mm] x^2 [/mm] + 2 x + 1 + 1 = (x + 1) + 2 x + 2 = 0$.
Also ist [mm] $x^4 [/mm] + 1$ durch [mm] $x^2 [/mm] + x + 2$ und durch [mm] $x^2 [/mm] + 2 x + 2$ teilbar, und somit nicht irreduzibel (und muss gleich [mm] $(x^2 [/mm] + x + 2) [mm] (x^2 [/mm] + 2 x + 2)$ sein).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Fr 09.04.2010 | | Autor: | eldorado |
> Es geht
>
> Modulo [mm]x^2 + 1[/mm]: dann ist [mm]x^2 = -1[/mm] (in [mm]\IZ/3\IZ[x]/(x^2+1)[/mm]),
> also [mm]x^4 + 1 = (-1)^2 + 1 = 2[/mm].
>
> Modulo [mm]x^2 + x + 2[/mm]: dann ist [mm]x^2 = 2 x + 1[/mm], also [mm]x^4 + 1 = (2 x + 1)^2 + 1 = 4 x^2 + 4 x + 1 + 1 = (2 x + 1) + x + 2 = 3 x + 3 = 0[/mm].
>
> Modulo [mm]x^2 + 2 x + 2[/mm]: dann ist [mm]x^2 = x + 1[/mm], also [mm]x^4 + 1 = (x + 1)^2 + 1 = x^2 + 2 x + 1 + 1 = (x + 1) + 2 x + 2 = 0[/mm].
>
> Also ist [mm]x^4 + 1[/mm] durch [mm]x^2 + x + 2[/mm] und durch [mm]x^2 + 2 x + 2[/mm]
> teilbar, und somit nicht irreduzibel (und muss gleich [mm](x^2 + x + 2) (x^2 + 2 x + 2)[/mm]
> sein).
>
> LG Felix
>
Oh stimmt, ok danke, soweit hab ich das verstanden.
Dh jetzt doch aber, dass uns das im Bezug auf die Irreduzibilität in [mm] \IZ[X] [/mm] nichts gebracht hat.
Könnte man da jetzt so argumentieren:
f mod 2 = [mm] x^{4}+x^{3}+x^{2}+1 [/mm] = [mm] (x+1)(x^{3}+x+1)
[/mm]
[mm] x^{3}+x+1 [/mm] ist Modulo 2 ja irreduzibel. Also müsste f, wenn es reduzibel wäre, einen Linearfaktor besitzen, da es ja in [mm] \IZ/2\IZ[x] [/mm] nicht in 2 quadratische Polynome zerlegbar ist. Da es aber ja in [mm] \IZ/3\IZ[x] [/mm] keinen Linearfaktor abspaltet (hatten wir ja oben gezeigt) ist [mm] f\in \IZ[X] [/mm] irreduzibel.
Hoffe das stimmt jetzt so ;)
Danke für die Hilfe, lg eldorado
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Fr 09.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh stimmt, ok danke, soweit hab ich das verstanden.
Gut :)
> Dh jetzt doch aber, dass uns das im Bezug auf die
> Irreduzibilität in [mm]\IZ[X][/mm] nichts gebracht hat.
> Könnte man da jetzt so argumentieren:
>
> f mod 2 = [mm]x^{4}+x^{3}+x^{2}+1[/mm] = [mm](x+1)(x^{3}+x+1)[/mm]
> [mm]x^{3}+x+1[/mm] ist Modulo 2 ja irreduzibel. Also müsste f,
> wenn es reduzibel wäre, einen Linearfaktor besitzen, da es
> ja in [mm]\IZ/2\IZ[x][/mm] nicht in 2 quadratische Polynome
> zerlegbar ist. Da es aber ja in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm] keinen
> Linearfaktor abspaltet (hatten wir ja oben gezeigt) ist
> [mm]f\in \IZ[X][/mm] irreduzibel.
>
> Hoffe das stimmt jetzt so ;)
Ja, das stimmt!
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Oder, alternativ, berechne
> den ggT von [mm]x^4 + 1[/mm] und [mm]x^{3^2} - x[/mm] in [mm]\IZ/3\IZ[x][/mm]. (Falls
> du soviel Koerpertheorie kennst.)
Zum Checken (ob ich Algebra kann :) ): Jede Körpererweiterung L vom Grad 2 ist Zerfällungskörper des rechten Polynoms. Das linke Polynom zerfällt vollständig in L in Linearfaktoren, da L genau aus den Nullstellen des rechten besteht, heisst es dass das linke dann das rechte teilen müsste, dh der ggT wäre schon [m]X^4+1[/m], ergo das rechte ohne Rest dadurch teilbar - das geht aber schief.
EDIT: es geht natürlich nicht schief, und es ist [m]x^{3^2}-x=(x^4+1)*(x^5-x)[/m] (Dritte binomische Formel sag ich nur ... ). Damit sind alle meine Fragen jedenfalls beantwortet.
SEcki
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