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| Aufgabe | | Prüfe in Abhängigkeit von der natürlichen Zahl n die Irreduzibilität von [mm] P=X^5-nX+1 [/mm] |
Grüßt Euch,
ich tue mich etwas schwer mit der Überprüfung auf Irreduzibilität. Eisenstein ist ja leider zumindest direkt nicht anwendbar. Der auch oft hilfreiche Trick X->X+1 führt auf [mm] X^5+5X^4+10X^3+10X^2+(5-n)X+2-n, [/mm] was mir jetzt auch nicht gerade sofort etwas bringt. Auch die Betrachtung modulo p scheint wenig hilfreich, weil n so allgemein ist.
Für n=2 ist das Polynom reduzibel.
Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 21.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Prüfe in Abhängigkeit von der natürlichen Zahl n die
> Irreduzibilität von [mm]P=X^5-nX+1[/mm]
>
> ich tue mich etwas schwer mit der Überprüfung auf
> Irreduzibilität. Eisenstein ist ja leider zumindest direkt
> nicht anwendbar. Der auch oft hilfreiche Trick X->X+1
> führt auf [mm]X^5+5X^4+10X^3+10X^2+(5-n)X+2-n,[/mm] was mir jetzt
> auch nicht gerade sofort etwas bringt. Auch die Betrachtung
> modulo p scheint wenig hilfreich, weil n so allgemein ist.
>
> Für n=2 ist das Polynom reduzibel.
Und fuer $n = 0$. Fuer $n = 1$ und fuer $n = 3, [mm] \dots, [/mm] 100$ ist es irreduzibel, und vermutlich auch fuer alle $n > 100$.
Wenn du das Polynom modulo 2 anschaust, bekommst du:
* gilt $n [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{2}$, [/mm] so gibt es einen Faktor von Grad 2 und einen von Grad 3. Ueber [mm] $\IZ$ [/mm] ist das Polynom also entweder irreduzibel, oder es tritt eine Faktorisierung in irred. Polynome von Grad 2 und 3 auf.
* gilt $n [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$, [/mm] so gibt es einen Faktor von Grad 1 und einen von Grad 4. Ueber [mm] $\IQ$ [/mm] (und somit ueber [mm] $\IZ$!) [/mm] hat das Polynom also entweder eine Nullstelle, oder es ist irreduzibel.
Im Fall $n$ gerade musst du also nur $P(1)$ und $P(-1)$ ausrechnen: ist beides [mm] $\neq [/mm] 0$, so ist $P$ irreduzibel. Und 0 tritt wohl nur bei $n = 0$ und $n = 2$ auf.
Im Fall $n$ ungerade musst du zeigen, dass das Polynom nicht von der Form [mm] $(X^3 [/mm] + a [mm] X^2 [/mm] + b X + c) [mm] \cdot (X^2 [/mm] + d X + e)$ ist. Hier kannst du evtl. einfach ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich machen und daraus hoffentlich einen Widerspruch herleiten.
LG Felix
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Danke schonmal, ich glaube ich weiß, in welche Richtung das geht!
> * gilt [mm]n \equiv 1 \pmod{2}[/mm], so gibt es einen Faktor von
> Grad 2 und einen von Grad 3. Ueber [mm]\IZ[/mm] ist das Polynom also
> entweder irreduzibel, oder es tritt eine Faktorisierung in
> irred. Polynome von Grad 2 und 3 auf.
> * gilt [mm]n \equiv 0 \pmod{2}[/mm], so gibt es einen Faktor von
> Grad 1 und einen von Grad 4. Ueber [mm]\IQ[/mm] (und somit ueber
> [mm]\IZ[/mm]!) hat das Polynom also entweder eine Nullstelle, oder
> es ist irreduzibel.
Wie kommst du darauf, dass es für n gerade keine Zerlegung in ein Polynom zweiten Grades und ein Polynom dritten Grades geben kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 21.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke schonmal, ich glaube ich weiß, in welche Richtung
> das geht!
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> > * gilt [mm]n \equiv 1 \pmod{2}[/mm], so gibt es einen Faktor von
> > Grad 2 und einen von Grad 3. Ueber [mm]\IZ[/mm] ist das Polynom also
> > entweder irreduzibel, oder es tritt eine Faktorisierung in
> > irred. Polynome von Grad 2 und 3 auf.
> > * gilt [mm]n \equiv 0 \pmod{2}[/mm], so gibt es einen Faktor
> von
> > Grad 1 und einen von Grad 4. Ueber [mm]\IQ[/mm] (und somit ueber
> > [mm]\IZ[/mm]!) hat das Polynom also entweder eine Nullstelle, oder
> > es ist irreduzibel.
>
> Wie kommst du darauf, dass es für n gerade keine Zerlegung
> in ein Polynom zweiten Grades und ein Polynom dritten
> Grades geben kann?
Wenn es eine solche ueber [mm] $\IZ$ [/mm] gibt, dann auch ueber [mm] $\IZ/2\IZ$. [/mm] Da gibt es aber keine solche.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 23.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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