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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Di 12.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Bestimme alle irreduziblen Polynome in [mm] \IZ/(2)[X] [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] 5 |
Hallo,
ich hab einige Probleme bei der Lösung dieser Aufgabe. Ich weiß nicht genau, wie ich die irreduziblen Polynome bestimmen soll.
[mm] \IZ/(2)[X] [/mm] ist ja ein Hauptidealring, weil [mm] \IZ/(2) [/mm] ein Körper ist. Die Definition von irreduziblen Elementen weiß ich auch, aber ich versteh nicht, wie ich das hier anwenden soll.
Allgemein gilt ja: Ein Element [mm] \pi \in [/mm] R heißt irreduzibel, wenn [mm] \pi \not= [/mm] 0, [mm] \pi \not\in R^{\times}, \forall [/mm] (a,b) [mm] \in R^{2} [/mm] mit [mm] \pi [/mm] = ab [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in R^{\times} [/mm] oder b [mm] \in R^{\times}.
[/mm]
Dann hab ich noch eine Frage: ein Polynom f [mm] \in \IZ/(2)[X] [/mm] ist doch ein Polynom mit Koeffizienten in [mm] \IZ/(2). [/mm] Aber wie kann ich so ein Polynom formal hinschreiben? Mir ist nicht ganz klar, wie ich bei der Aufgabe anfangen soll.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Vielen Dank und viele Grüße,
Moe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 14.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe weiter helfen. Wie muss ich denn vorgehen, um die irreduziblen Polynome in [mm] \IZ [/mm] / (2)[X] vom Grad [mm] \le [/mm] 5 zu bestimmen? Das sind doch die Polynome, die nicht 0 sind und auch keine Einheiten.
Ein Polynom sieht ja allgemein so aus: f(X) = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i} X^{i}. [/mm]
Da ich in [mm] \IZ [/mm] / (2)[X] bin, sind die Koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] / (2) oder? Also entweder [mm] \overline{0} [/mm] oder [mm] \overline{1} [/mm] oder? Sind dann die Koeffizienten Restklassen und alle Koeffizienten, die Vielfache von 2 sind gleich 0? Wenn das so wäre, würden sich alle Summanden mit geraden Koeffizienten wegkürzen.
Für irreduzibel muss doch gelten: Wenn [mm] \forall [/mm] g,h [mm] \in \IZ [/mm] / (2)[X] f = gh, dann ist g [mm] \in \IZ [/mm] / [mm] (2)[X]^{\times}, [/mm] also eine Einheit, oder h [mm] \in \IZ [/mm] / (2) [mm] [X]^{\times}. [/mm]
Aber wie finde ich solche g und h, von denen einer eine Einheit in [mm] \IZ [/mm] / [mm] (2)[X]^{\times} [/mm] ist?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen. Sind meine Überlegungen überhaupt richtig?
Viele Grüße und danke schonmal,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Do 14.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab mal versucht, die Aufgabe so zu lösen. Stimmt das so?
Die irreduziblen Polynome
vom Grad 1: x+1 und x, da alle Polynome 1.Grades irreduzibel sind.
vom Grad 2: [mm] x^{2} [/mm] + x + 1, da es keine Nullstellen hat in [mm] \IZ [/mm] \ (2)
Grad 3: [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 1 und [mm] x^{3} [/mm] + x + 1, da sie keine Nullstellen haben.
Grad 4: [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + x + 1
[mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + 1
[mm] x^{4} [/mm] + x + 1
Also praktisch alle Polynome, die entweder 1 oder 3 Zwischenpotenzen haben mit Absolutglied 1 hinten.
Ausnahme: [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 1 ist reduzibel, da man es als Quadrat von [mm] x^{2} [/mm] + x + 1 schreiben kann, und das ist ja irreduzibel.
Grad 5: [mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] +1
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + x +1
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + x +1 = [mm] (x^{2} [/mm] + x [mm] +1)(x^{3} [/mm] + x
+1)
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + x +1 = [mm] (x^{2} [/mm] + x [mm] +1)(x^{3} [/mm] + [mm] x^{2}
[/mm]
+1)
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 1
Die Polynome [mm] x^{5} [/mm] + x + 1, [mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + 1, [mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + 1
sind reduzibel, da man sie als Produkt von irreduziblen Polynomen schreiben kann.
Wie? (statler)
Sind das alle Polynome?
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Fr 15.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Moe!
> Die irreduziblen Polynome
> vom Grad 1: x+1 und x, da alle Polynome 1.Grades
> irreduzibel sind.
>
> vom Grad 2: [mm]x^{2}[/mm] + x + 1, da es keine Nullstellen hat in
> [mm]\IZ[/mm] \ (2)
>
> Grad 3: [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + 1 und [mm]x^{3}[/mm] + x + 1, da sie keine
> Nullstellen haben.
>
> Grad 4: [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + x + 1
> [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 1
> [mm]x^{4}[/mm] + x + 1
> Also praktisch alle Polynome, die entweder 1 oder 3
> Zwischenpotenzen haben mit Absolutglied 1 hinten.
> Ausnahme: [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + 1 ist reduzibel, da man es als
> Quadrat von [mm]x^{2}[/mm] + x + 1 schreiben kann, und das ist ja
> irreduzibel.
>
> Grad 5: [mm]x^{5}[/mm] + [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] +1
> [mm]x^{5}[/mm] + [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + x +1
> [mm]x^{5}[/mm] + [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + x +1
> [mm]x^{5}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + x +1
> [mm]x^{5}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + 1
> Die Polynome [mm]x^{5}[/mm] + x + 1, [mm]x^{5}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 1,
> [mm]x^{5}[/mm] + [mm]x^{4}[/mm] + 1
> sind reduzibel, da man sie als Produkt von irreduziblen
> Polynomen schreiben kann.
>
> Sind das alle Polynome?
Das weiß ich im Moment noch nicht, aber du kannst es selbst kontrollieren, wenn du etwas systematischer vorgehst. Es gibt insgesamt 64 Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 5, da man 6 Koeffizienten hat, die 0 oder 1 sein können. Und jetzt gehst du vor wie beim Sieb des Eratosthenes: Du fängst mit X an und streichst alle Vielfachen von X. Es bleibt zunächst X+1. Dann streichst du alle Vielfachen von X+1. Es bleibt [mm] X^{2} [/mm] + X + 1 stehen. Und nun so weiter.
Die Polynome, die übrig bleiben, sind die irreduziblen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
danke für deine Antwort.
Ich hab aber nicht verstanden, wie das Verfahren geht.
Und jetzt
> gehst du vor wie beim Sieb des Eratosthenes: Du fängst mit
> X an und streichst alle Vielfachen von X. Es bleibt
> zunächst X+1. Dann streichst du alle Vielfachen von X+1. Es
> bleibt [mm]X^{2}[/mm] + X + 1 stehen. Und nun so weiter.
Ich hab nicht verstanden, wie das gemeint ist. Kannst du mir das bitte näher erläutern?
> Die Polynome, die übrig bleiben, sind die irreduziblen.
Kann man aber nicht auch so vorgehen: Ich streiche alle Polynome mit Grad [mm] \ge [/mm] 2, die eine Nullstelle in [mm] \IZ [/mm] \ (2) haben, und übrig bleiben die Polynome mit entweder 1 oder 3 Zwischenpotenzen und das Absolutglied ist immer 1 hinten. Diese haben keine Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] \ (2).
Dann betrachte ich die übrig gebliebenen Polynome und guck, ob sie noch weiter in Faktoren niedrigeren Grades zerfallen.
Ich schließe dann noch die Polynome aus, die in Faktoren zerfallen, welche irreduzibel sind. Weil dann ist das Polynom reduzibel, da beide Faktoren keine Einheiten sind.
Die restlichen sind dann die irreduziblen (siehe mein letztes Posting)
Kann man auch so vorgehen? Ich bin mir nicht sicher, ob das auch so geht, aber ich finds so leichter als deine Kontrollmöglichkeit.
Danke nochmal für deine Hilfe!
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Fr 15.12.2006 | | Autor: | statler |
Hey Moe!
> Hallo statler,
> danke für deine Antwort.
> Ich hab aber nicht verstanden, wie das Verfahren geht.
> > Und jetzt
> > gehst du vor wie beim Sieb des Eratosthenes: Du fängst mit
> > X an und streichst alle Vielfachen von X. Es bleibt
> > zunächst X+1. Dann streichst du alle Vielfachen von X+1. Es
> > bleibt [mm]X^{2}[/mm] + X + 1 stehen. Und nun so weiter.
>
> Ich hab nicht verstanden, wie das gemeint ist. Kannst du
> mir das bitte näher erläutern?
>
> > Die Polynome, die übrig bleiben, sind die irreduziblen.
>
> Kann man aber nicht auch so vorgehen: Ich streiche alle
> Polynome mit Grad [mm]\ge[/mm] 2, die eine Nullstelle in [mm]\IZ[/mm] \ (2)
> haben, und übrig bleiben die Polynome mit entweder 1 oder 3
> Zwischenpotenzen und das Absolutglied ist immer 1 hinten.
> Diese haben keine Nullstellen in [mm]\IZ[/mm] \ (2).
Die mit Nullstelle 0 sind die Vielfachen von X, und die mit Nullstelle 1 sind die Vielfachen von X+1. Eine Nullstelle zu haben, bedeutet doch gerade, einen Linearfaktor abzuspalten. Was sind Zwischenpotenzen?
Jetzt müßtest du sorgfältiger argumentieren wieso - warum - weshalb. Wenn ein Polynom vom Grad 2 oder 3 reduzibel ist, ist einer der beiden Faktoren ein lineares Polynom, und dann hat es eine Nullstelle. Für Grad 2 bleibt nur [mm] X^{2} [/mm] + X + 1 übrig. Für Grad 3 bleiben [mm] X^{3} [/mm] + [mm] X^{2} [/mm] + 1 und [mm] X^{3} [/mm] + X + 1 übrig.
Bei Grad 4 hat man bei einer Zerlegung einen linearen Faktor, also eine Nullstelle, oder 2 quadratische. Die erste Gruppe schließe ich über eine Nullstellenuntersuchung aus, und vom Grad 2 gibt es nur ein irred. Polynom (s. o.). Dessen Quadrat gibt mir das einzige reduzible Polynom 4.Grades ohne linearen Faktor.
Ein Polynom 5. Grades zerfällt in 4. Grades und linear, hat also Nullstelle, oder in 2. Grades und 3. Grades. Es gibt 8 Pol. ohne Nullstelle, also ohne lin. Faktor. Dann gibt es noch 2 weitere, die aus der Multiplikation des Pol. 2. Grades mit den beiden 3. Grades entstehen. Dann müßten 6 irreduzible überbleiben.
In deiner Mitt. sind Fehler, ich habe da korrigiert.
> Dann betrachte ich die übrig gebliebenen Polynome und
> guck, ob sie noch weiter in Faktoren niedrigeren Grades
> zerfallen.
> Ich schließe dann noch die Polynome aus, die in Faktoren
> zerfallen, welche irreduzibel sind. Weil dann ist das
> Polynom reduzibel, da beide Faktoren keine Einheiten sind.
>
> Die restlichen sind dann die irreduziblen (siehe mein
> letztes Posting)
>
> Kann man auch so vorgehen? Ich bin mir nicht sicher, ob das
> auch so geht, aber ich finds so leichter als deine
> Kontrollmöglichkeit.
Aber was habe ich denn gemacht? Ich habe die Vielfachen der irreduziblen Polynome bestimmt und den Rest genommen.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
danke erstmal für deine ausführliche Antwort.
Ich hab noch eine Rückfrage zu den Polynomen 4. und 5.Grades:
> Bei Grad 4 hat man bei einer Zerlegung einen linearen
> Faktor, also eine Nullstelle, oder 2 quadratische. Die
> erste Gruppe schließe ich über eine Nullstellenuntersuchung
> aus, und vom Grad 2 gibt es nur ein irred. Polynom (s. o.).
> Dessen Quadrat gibt mir das einzige reduzible Polynom
> 4.Grades ohne linearen Faktor.
Das ist genau das Polynom [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 1, das reduzibel ist.
Die irreduziblen Polynome 4.Grades sind bei mir:
[mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} +x^{2} [/mm] + x +1,
[mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + + 1
[mm] x^{4} [/mm] + x + 1
Richtig?
>
> Ein Polynom 5. Grades zerfällt in 4. Grades und linear, hat
> also Nullstelle, oder in 2. Grades und 3. Grades. Es gibt 8
> Pol. ohne Nullstelle, also ohne lin. Faktor. Dann gibt es
> noch 2 weitere, die aus der Multiplikation des Pol. 2.
> Grades mit den beiden 3. Grades entstehen. Dann müßten 6
> irreduzible überbleiben.
Ich habe auch 8 Polynome 5.Grades gefunden ohne Nullstellen:
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} +x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 1,
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} +x^{3} [/mm] + x + 1,
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} +x^{2} [/mm] + x + 1,
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{3} +x^{2} [/mm] + x + 1,
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 1,
Diese sind irreduzibel, also nur 5 Stück. Warum sind es 6 Stück? Die restlichen 3 Polynome sind bei mir reduzibel, denn:
[mm] x^{5} [/mm] + x + 1 = [mm] (x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 1) [mm] (x^{2} [/mm] + x + 1)
Beide Faktoren sind irreduzibel.
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + 1 = [mm] (x^{3} [/mm] + x + 1) [mm] (x^{2} [/mm] + x + 1)
Beide Faktoren sind irreduzibel.
UND
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + 1 = (x + [mm] 1)^{5}. [/mm] Dies ist ja auch ein irreduzibles Polynom 1.Grades.
Also bleiben nur 5 irreduzible Polynome 5.Grades übrig.
Oder mach ich was falsch?
Du hast mich in meiner Mitteilung gefragt, ob das alles Polynome sind.
Ich denke schon. Die vom 1., 2. und 3. Grades hab ich ja schon oben angegeben.
Oder fehlt da noch was?
Vielen Dank für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
Das verfahren, dass genannt wurde ist gut, aber deine Methode ist ebenso gut:
1) alle Polynome müssen [mm] a_0=1 [/mm] haben
2) die Anzahl der Koeffizienten =1 muss ungerade sein (sonst ist 1 eine NST in [mm] \IZ/(p) [/mm] und dann wäre (x-1) ein Teiler also das Polynom reduzibel)
So bleiben nur die Polynome mit ungerader Summandenanzahl und letzter Summand eins
Die Polynome die du genannt hast sind korrekt aber das Polynom [mm] X^5+X^3+1 [/mm] ist auch irreduzibel, denn es ist nicht [mm] (X+1)^5 [/mm] da hast du dich verrechnet glaub ich. Mit diesem noch dazu sind es jedenfalls alle.
LG Binie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:55 So 17.12.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Moe!
[mm] x^{5} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + 1 = (x + [mm] 1)^{5} [/mm] kann schon deswegen nicht sein, weil die rechte Seite x = 1 als Nullstelle hat, die linke aber nicht!
Mit Binies Antwort ist das Thema korrekt abgeschlossen, deswegen habe ich es mal auf völlständig beantwortet gesetzt.
Gruß aus HH-Harburg u. schönen Sonntag
Dieter
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