Irreduzible, normierte Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei R faktorieller Ring und p [mm] \in [/mm] R ein Primelement. Wir betrachten die Abbildung
R[X] [mm] \to [/mm] (R/pR)[X]
[mm] f(X)=\summe_{i=1}^{n}a_{i}X^{i}\mapsto \overline{f}(X)=\summe_{i=1}^{n}\overline{a_{i}}X^{i}
[/mm]
(wobei [mm] \overline{a} [/mm] die Restklasse von a [mm] \in [/mm] R in R/pR bezeichne).
a) Zeigen Sie, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.
b) Zeigen Sie: Ist f(X) normiert und [mm] \overline{f} [/mm] irreduzibel in (R/pR)[X], so ist auch f irreduzibel in R[X].
c) Folgt aus der Irreduzibilität von f(X) auch immer die Irreduzibilität von [mm] \overline{f}(X)? [/mm] |
Hi,
Ich brauch ne Idee für die b) und c), die a) hab ich schon.
Ich denke bei der b) sollte ich mit der Zerlegung in 2 eindeutige Polynome ohne Rest arbeiten, ist aber nur eine Idee und führte bisher nicht zum Ziel.
Für die c) habe ich keine Ahnung, tendiere aber zu ja...
Vielen Dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Di 27.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Es sei R faktorieller Ring und p [mm]\in[/mm] R ein Primelement. Wir
> betrachten die Abbildung
> R[X] [mm]\to[/mm] (R/pR)[X]
> [mm]f(X)=\summe_{i=1}^{n}a_{i}X^{i}\mapsto \overline{f}(X)=\summe_{i=1}^{n}\overline{a_{i}}X^{i}[/mm]
>
> (wobei [mm]\overline{a}[/mm] die Restklasse von a [mm]\in[/mm] R in R/pR
> bezeichne).
> a) Zeigen Sie, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus
> ist.
> b) Zeigen Sie: Ist f(X) normiert und [mm]\overline{f}[/mm]
> irreduzibel in (R/pR)[X], so ist auch f irreduzibel in
> R[X].
> c) Folgt aus der Irreduzibilität von f(X) auch immer die
> Irreduzibilität von [mm]\overline{f}(X)?[/mm]
> Hi,
>
> Ich brauch ne Idee für die b) und c), die a) hab ich
> schon.
> Ich denke bei der b) sollte ich mit der Zerlegung in 2
> eindeutige Polynome ohne Rest arbeiten, ist aber nur eine
> Idee und führte bisher nicht zum Ziel.
Ich weiss nicht, was Du damit sagen willst. Fange so an: Sei [mm] $\bar{f}$ [/mm] irreduzibel, $f$ normiert, und seien [mm] $g,h\in [/mm] R[X]$ mit $f= gh$, wobei $g$ keine Einheit sein moege. Durch Uebergang nach [mm] $\bar{R}[X]$ [/mm] schlussfolgere, dass $h$ eine Einheit in $R$ ist.
> Für die c) habe ich keine Ahnung, tendiere aber zu ja...
Tip: Tendiere zu etwas anderem...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
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