Irreduzibles Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 So 17.12.2006 | | Autor: | g_hub |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das Polynom
[mm] \IQ[X]\ni f(X)=X^4+aX-1
[/mm]
für [mm] a\in\IZ, a\not=0 [/mm] unzerlegbar ist. |
Ich hab schon mehrfach versucht, es in eine Form zu bringen, auf die ich das Eisenstein-Kriterium (mehr hatten wir noch nicht) anwenden kann...
...ohne jeden Erfolg.
Hat jemand einen Tipp, welchen Ansatz man hier machen könnte?
Danke schonmal
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Hallo g_hub,
> Zeigen Sie, dass das Polynom
> [mm]\IQ[X]\ni f(X)=X^4+aX-1[/mm]
> für [mm]a\in\IZ, a\not=0[/mm] unzerlegbar
> ist.
> Ich hab schon mehrfach versucht, es in eine Form zu
> bringen, auf die ich das Eisenstein-Kriterium (mehr hatten
> wir noch nicht) anwenden kann...
> ...ohne jeden Erfolg.
Tja, ist vielleicht nicht sehr elegant; aber wenn Du Dein Polynom in ein Polynom in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] "umwandelst" und zeigst, daß es dort irreduzibel ist, dann ist auch das ursprüngliche Polynom [mm] $x^4+ax-1$ [/mm] über [mm] $\IQ$ [/mm] irreduzibel: Setze z.B. $a=r/s, r,s [mm] \ne [/mm] 0, ggT(r,s)=1$. Dann kann man sich überlegen, daß eine Nullstelle des Polynoms [mm] $sx^2+rx-s$ [/mm] Teiler von $-s$ sein muß.
Und für den andern Fall - Das Polynom ist Produkt zweier Polynome vom Grad 2 - müssen die Koeffizienten der Faktorpolynome (nicht unbedingt *paarweise*) teilerfremd sein.
Mfg
zahlenspieler
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