Irreduzibles Polynom < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:20 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Jonas85 |
| Aufgabe | Pick integers a, b, c and d of absolute value at most 4 such that f = [mm] X^4+aX^3+bX^2+cX+d
[/mm]
is irreducible in Z[X]. Compute the class group and the unit group of the field Q[X]/(f). |
Guten morgen zusammen!
Das Semester neigt sich (zum Glück) langsam aber sicher dem Ende, und nurnoch das letzte "assignment" stellt sich mir vor Weihnachten im Weg. Dieses bereitet mir leider jedoch sehr viel Kummer. Nun aber zu meinem Problem:
Ich habe das Eisensteinkriterium angewandt und mein irreduzibles Polynom wie folgt aufgestellt:
f = [mm] x^{4}-4x^{3}+4x^{2}-2x+2
[/mm]
welches mit dem Primelement 2 nach Eisenstein irreduzibel ist. Um jetzt auf die class group und die unit group zu kommen, haben wir in der Vorlesung (hier das Skript: ![[]](/images/popup.gif) http://websites.math.leidenuniv.nl/ant2008/ANT.pdf, das Beispiel ist auf Seite 69) erst einmal uns die Funktionswerte zwischen -15 und 15 inkl. Primzahlzerlegung angeguckt. Dies habe ich hier auch gemacht (sorry, ich weiss nicht wie ich eine Tabelle hier angenehmer darstellen soll, deshalb als jpg)
http://i36.tinypic.com/mrtydc.jpg
Und nach diesem Punkt hört das Verständnis für diese Aufgabe bei mir leider auf.
Jetzt zu meinen Fragen:
1.) Bin ich auf dem richtigen Weg, und wenn ja: Wie gehts weiter?
2.) Mache ich es mir unnötig schwer, da ich die konstanten a-d unglücklich gewählt habe?
Ich bin für jeden Hinweis dankbar, die Aufgabe hat noch bis Montag Zeit, nur da sie für mich sehr (!) wichtig ist, und ich als Wirtschaftswissenschaftler (siehe Excel ;)) bei dieser abstrakten Mathe an meinen Grenzen bin fang ich lieber früh damit an.
D A N K E!
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Fr 05.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Pick integers a, b, c and d of absolute value at most 4
> such that f = [mm]X^4+aX^3+bX^2+cX+d[/mm]
> is irreducible in Z[X]. Compute the class group and the
> unit group of the field Q[X]/(f).
>
> Guten morgen zusammen!
>
> Das Semester neigt sich (zum Glück) langsam aber sicher dem
> Ende, und nurnoch das letzte "assignment" stellt sich mir
> vor Weihnachten im Weg. Dieses bereitet mir leider jedoch
> sehr viel Kummer. Nun aber zu meinem Problem:
>
> Ich habe das Eisensteinkriterium angewandt und mein
> irreduzibles Polynom wie folgt aufgestellt:
>
> f = [mm]x^{4}-4x^{3}+4x^{2}-2x+2[/mm]
>
> welches mit dem Primelement 2 nach Eisenstein irreduzibel
> ist. Um jetzt auf die class group und die unit group zu
> kommen, haben wir in der Vorlesung (hier das Skript:
> http://websites.math.leidenuniv.nl/ant2008/ANT.pdf, das
> Beispiel ist auf Seite 69) erst einmal uns die
Hast du auch mal das Beispiel auf Seite 71 angeschaut? Dort wird ebenfalls eine quartische Erweiterung betrachtet.
> Funktionswerte zwischen -15 und 15 inkl. Primzahlzerlegung
> angeguckt. Dies habe ich hier auch gemacht (sorry, ich
> weiss nicht wie ich eine Tabelle hier angenehmer darstellen
> soll, deshalb als jpg)
>
> http://i36.tinypic.com/mrtydc.jpg
>
> Und nach diesem Punkt hört das Verständnis für diese
> Aufgabe bei mir leider auf.
Dann hast du ein grosses Problem. Bei dieser Aufgabe geht es naemlich darum, die Methoden aus der bisherigen Vorlesung anzuwenden, um dieses Problem zu loesen. Dazu muss man natuerlich wissen was es fuer Methoden gab und wie sie in etwa funktionieren.
> Jetzt zu meinen Fragen:
>
> 1.) Bin ich auf dem richtigen Weg, und wenn ja: Wie gehts
> weiter?
Nun, folge doch dem Beispiel im Skript:
1) Berechne die Diskriminante
2) Bestimme die Signatur
3) Bestimme die Minkowski-Schranke
4) Faktorisiere alle Primideale in [mm] $\IZ$ [/mm] mit Norm [mm] $\le$ [/mm] der Schranke in [mm] $\mathcal{O}_K$
[/mm]
Das kann man soweit relativ mechanisch machen. Danach muss man wirklich was verstanden haben und die bisherige Vorlesung benutzen, um mit diesen Informationen etwas ueber die Klassengruppe und die Einheitengruppe zu erfahren.
> 2.) Mache ich es mir unnötig schwer, da ich die konstanten
> a-d unglücklich gewählt habe?
Vielleicht. Vielleicht auch nicht.
Die Diskriminante ist hier nicht quadratfrei, allerdings ist die Minkowskischranke sehr klein und die Klassengruppe trivial. Die Einheitengruppe hat Rang 2, und es gibt recht kleine, einfache Fundamentaleinheiten.
Es gibt eventuell einfachere Wahlen, aber das musst du selber wissen...
> Ich bin für jeden Hinweis dankbar, die Aufgabe hat noch bis
> Montag Zeit, nur da sie für mich sehr (!) wichtig ist, und
> ich als Wirtschaftswissenschaftler (siehe Excel ;)) bei
Laut deiner Profilbeschreibung bist du Mathematik-Student im Hauptstudium? Und falls du wirklich Wirtschaftswissenschaftler bist, dann hast du dir eine ziemlich anspruchsvolle Vorlesung ausgesucht...
LG Felix
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 19:00 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Jonas85 |
Hi Felix und vielen Dank für deine ausführliche Antwort und deine Bereitschaft mir zu helfen!
Ich habe deinen Tips sogut es geht gefolgt, und das sind meine Ergebnisse:
Die Diskriminante habe ich über die Resultante R(f,f') ausgerechnet. Diese ist dementsprechend die Determinante der Sylvester-Matrix und in meinem Fall genau
[Dateianhang nicht öffentlich]
- 1456 = - [mm] 2^{4} [/mm] * 7 * 13
Ich hoffe dass du mit Signatur, dass "sign" meinst, also das Vorzeichen was in diesem Fall -1 ist. Das ist ja herrlich, wie im Beispiel, und somit haben wie 2 reelle und ein paar complexe embeddings.
Die Minkowski-Schranke ist dann auch wie folgt:
[mm] 4!/4^{4} [/mm] * [mm] (4/\pi)*\wurzel{1456} \approx [/mm] 4,5547
Ich habe versucht mir einen Reim aus der Zerlegung in Primideale zu machen die im Beispiel angegeben sind, bin aber dabei gescheitert.
"The table shows that f has no zeroes modulo p for the primes p = 2, 3, 17, 23 and 29."
Wie sieht er das aus der Tabelle?!
Ich sehe da leider keinen Zusammenhang, und kann es dementsprechnd auch nicht auf mein Problem transferieren. Es würde mich sehr freuen, wenn du mir da auf die Sprünge helfen könntest.
Vorab schonmal herzlichen Dank! Der Anfang ist gemacht, auch wenn ich für diese 3 kleinen Teilaufgaben jetzt 4 Stunden gebraucht habe, so bin ich zuversichtlich dass doch noch irgendwie hinzubiegen!
Zu meinem Profil: Mathestudent im Hauptstudium ist halbrichtig. Ich studiere Wirtschaftsmathematik, wobei ich mehr in die Richtung Wirtschaft oder speziell sogar Banking gehe.
Dies ist auch meine letzte "reine" Mathematik Vorlesung, und wenn dieses Assignment gut für mich über die Bühne läuft, dann war es das für mich mit der Hochschul-Mathematik. Für immer! Also dieses Wochenende heisst es noch einmal Zähne zusammenbeissen und Weihnachten liegt dann hoffentlich der Schein unterm Weihnachtsbaum :)
Danke nochmal, hoffe du oder jemand anderes hilft mit noch einmal weiter! Tolle Sache mit der schnellen Antwort!
LG Jonas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 07.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 19:58 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Jonas85 |
ist immernoch aktuell... :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 09.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Di 09.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](http://i36.tinypic.com/mrtydc.jpg){kind=small}
http://i36.tinypic.com/mrtydc.jpg