Irreduziblität eines Polynoms < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: Das Polynom [mm] f(x)=X^4+2X^3-X^2+5X-1 [/mm] ist irreduzibel in [mm] \IQ[X]. [/mm] Hinweis: Rechne mod 2 |
Hallo liebes Matheforum,
ich habe den Hinweis verfolgt und das Polynom sieht nun wie folgt aus:
[mm] f(x)=X^4-X^2+X-1.
[/mm]
Ich habe verschiedene Ansätze zu Irreduziblität durchdacht, aber keine Lsg gefunden.
Der Satz:
1) f(x) Irreduzibel im Körper <=> f(x) keine NST im Körper gilt ja nur für Grad 2 & 3
2) Eisenstein'sche Kriterium auch schwierig da nach der Mod 2 Darstellung alle Koeff die gleichen Teiler haben
3) Das Polynom ist zwar primitiv, daher würde es ja reichen Irreduziblität in [mm] \IZ [/mm] zu zeigen, oder? Da doch [mm] \IQ [/mm] der Quotientenkörper von [mm] \IZ [/mm] ist. Aber da hab ich auch keinen Ansatz
Ich wäre Euch sehr dankbar für mögliche Hinweise! Langsam zweifle ich daran, dass die Aufg überhaupt richtig gestellt ist ... ;)
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Schon mal im Vorfeld vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 So 14.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeige: Das Polynom [mm]f(x)=X^4+2X^3-X^2+5X-1[/mm] ist irreduzibel
> in [mm]\IQ[X].[/mm] Hinweis: Rechne mod 2
> Hallo liebes Matheforum,
> ich habe den Hinweis verfolgt und das Polynom sieht nun wie
> folgt aus:
> [mm]f(x)=X^4-X^2+X-1.[/mm]
>
> Ich habe verschiedene Ansätze zu Irreduziblität durchdacht,
> aber keine Lsg gefunden.
>
> Der Satz:
> 1) f(x) Irreduzibel im Körper <=> f(x) keine NST im Körper
> gilt ja nur für Grad 2 & 3
Genau. Allerdings: wenn $f$ keine Nullstelle hat, dann gibt es keinen irreduziblen Faktor von Grad 1, sprich alle irreduziblen Faktoren haben Grad [mm] $\ge [/mm] 2$.
> 2) Eisenstein'sche Kriterium auch schwierig da nach der Mod
> 2 Darstellung alle Koeff die gleichen Teiler haben
Das kannst du sowieso nicht benutzen, da es nur funktioniert, wenn du Primelemente hast. Und in einem Koerper hast du keine solchen.
> 3) Das Polynom ist zwar primitiv, daher würde es ja reichen
> Irreduziblität in [mm]\IZ[/mm] zu zeigen, oder? Da doch [mm]\IQ[/mm] der
> Quotientenkörper von [mm]\IZ[/mm] ist. Aber da hab ich auch keinen
> Ansatz
Ja, aber das tust du ja schon, indem du das Reduktionskritierum (also modulo 2 gehen) benutzt. Das liefert dir erstmal nur, dass $f$ irreduzibel ueber [mm] $\IZ$ [/mm] ist, und mit dem Gaussschen Lemma folgt dann die Irreduzibilitaet ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
Du hast also $f$ modulo 2 gleich [mm] $X^4-X^2+X-1 [/mm] = [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1 [mm] \in (\IZ/2\IZ)[X]$, [/mm] und das hat eine Nullstelle, naemlich 1. Insofern, keine Ahnung was der Hinweis soll...
Modulo 3 hat man uebrigens genau das gleiche, naemlich die Nullstelle 1.
Die kleinste Primzahl $p$, so dass das Polynom modulo $p$ keine Nullstelle hat, ist uebrigens $p = 11$.
Hast du dich eventuell verschieben? Und es ist eigentlich ein anderes Polynom gemeint? Oder der Hinweis ist schlichtweg falsch...
Zumindest: Wenn das Polynom in [mm] $\IQ$ [/mm] eine Nullstelle haette, dann muesste es ein Teiler von 1 sein, also entweder $1$ oder $-1$, und das sind keine Nullstellen.
Insofern, wenn es ueber [mm] $\IQ$ [/mm] reduzibel ist, muss es von der Form $f = [mm] (x^2 [/mm] + a x + b) [mm] (x^2 [/mm] + c x + d)$ sein mit $a, b, c, d [mm] \in \IQ$. [/mm] Hieraus bekommst du nun ein (nicht-lineares) Gleichungssystem, und du musst zeigen, dass es ueber [mm] $\IQ$ [/mm] keine Loesung hat. Alternativ kannst du es auch modulo 11 betrachten. Je nachdem was einfacher ist...
Ein anderes Vorgehen sehe ich nicht (Reduktionskritierum $x [mm] \to [/mm] x + a$ fuer $a$ klein und dann Eisenstein geht nicht, zumindest nicht fuer $|a| [mm] \le [/mm] 2$)...
LG Felix
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Hi Felix,
herzlichen Dank für Deine ausfürhliche Antwort! Ich habe noch mal gecheckt, ob Aufg und Hinweis richtig abgeschrieben sind. Dem ist so. Also der Hinweis scheint in der Tat falsch zu sein...
Ich wäre Dir dankbar, wenn Du mir die Hintergründe zu folgenden Inhalten Deiner Lsg vielleicht noch mal zusammenfassen könntest:
1) Warum gibt es in Körpern keine Primelemente?
2) Was ist die theoretische Motivation [mm] \IQ [/mm] Modulo Primzahlen zu betrachten?
Es wäre super, wenn Du dazu vielleicht noch ein zwei Sätze verlieren könntest! Ansonsten nochmals vielen Dank!
Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 So 14.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Nils!
> herzlichen Dank für Deine ausfürhliche Antwort! Ich habe
> noch mal gecheckt, ob Aufg und Hinweis richtig
> abgeschrieben sind. Dem ist so. Also der Hinweis scheint in
> der Tat falsch zu sein...
>
> Ich wäre Dir dankbar, wenn Du mir die Hintergründe zu
> folgenden Inhalten Deiner Lsg vielleicht noch mal
> zusammenfassen könntest:
>
> 1) Warum gibt es in Körpern keine Primelemente?
Per Definition ist ein Primelement ein Element ungleich 0, welches keine Einheit ist, und weitere Eigenschaften erfuellt. In einem Koerper sind alle Elemente entweder 0 oder eine Einheit, womit es keine Primelemente geben kann. (Und ebenso keine irreduziblen, keine reduziblen oder sonstetwas womit man Teilertheorie betreiben koennte.)
> 2) Was ist die theoretische Motivation [mm]\IQ[/mm] Modulo
> Primzahlen zu betrachten?
Also erstmal betrachtet man [mm] $\IZ$ [/mm] modulo Primzahl 
Der Vorteil ist, dass man in [mm] $(\IZ/p\IZ)[x]$ [/mm] einfacher ueberpruefen kann, ob etwas irreduzibel ist, als in [mm] $\IZ$ [/mm] selber. Zum Beispiel weiss man, dass jedes irreduzible Polynom von Grad $n$ in [mm] $(\IZ/p\IZ)[x]$ [/mm] ein Teiler von [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$ ist. Wenn also $f [mm] \in (\IZ/p\IZ)[x]$ [/mm] teilerfremd zu [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$ ist fuer alle $n < [mm] \deg [/mm] f$, dann muss $f$ irreduzibel sein. Und teilerfremdheit kann man sehr schnell mit dem euklidischen Algorithmus nachpruefen.
Oder wenn man das ganze auf ein Gleichungssystem zurueckfuehrt: Gleichungssysteme (insb. nichtlineare) mit Koeffizienten in [mm] $\IZ$ [/mm] oder [mm] $\IQ$ [/mm] zu loesen ist haeufig schwieriger als etwa in [mm] $\IZ/p\IZ$, [/mm] da man dort schlimmstenfalls nur endlich viele Moeglichkeiten hat und alle nachpruefen koennte. Oder wenn man $p$ passend waehlt, werden manche Koeffizienten zu 0 und fallen weg.
> Es wäre super, wenn Du dazu vielleicht noch ein zwei Sätze
> verlieren könntest! Ansonsten nochmals vielen Dank!
Das waren jetzt mehr als zwei Ich hoffe mal es hilft dir weiter...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Di 16.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Nils und Felix,
ich finde den Hinweis doch sehr sinnvoll. Modulo 2 zerlegt sich f als
$$
[mm] \overline{f}(X)=X^4+X^2+X+1 =(X+1)(X^3+X^2+1)\in\IF_2[X]
[/mm]
$$
in irreduzible Faktoren. Die Irreduzibilität von [mm] (X^3+X^2+1) [/mm] folgt durch Aussieben oder Nachschlagen. Das primitive Polynom
$$
[mm] f(x)=X^4+2X^3-X^2+5X-1
[/mm]
$$
ist also entweder irreduzibel (und wir sind fertig) oder es zerfällt in ein Produkt aus einem linearen und einem kubischen Faktor. Letzteres kann aber nicht sein, denn Felix hatte schon bemerkt, dass f(X) keinen linearen primitiven Faktor aus [mm] \IZ[X] [/mm] haben kann.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Di 16.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Volker,
> ich finde den Hinweis doch sehr sinnvoll. Modulo 2 zerlegt
> sich f als
> [mm][/mm]
> [mm]\overline{f}(X)=X^4+X^2+X+1 =(X+1)(X^3+X^2+1)\in\IF_2[X][/mm]
> [mm][/mm]
>
> in irreduzible Faktoren. Die Irreduzibilität von
> [mm](X^3+X^2+1)[/mm] folgt durch Aussieben oder Nachschlagen. Das
> primitive Polynom
> [mm][/mm]
> [mm]f(x)=X^4+2X^3-X^2+5X-1[/mm]
> [mm][/mm]
> ist also entweder irreduzibel (und wir sind fertig) oder
> es zerfällt in ein Produkt aus einem linearen und einem
> kubischen Faktor. Letzteres kann aber nicht sein, denn
> Felix hatte schon bemerkt, dass f(X) keinen linearen
> primitiven Faktor aus [mm]\IZ[X][/mm] haben kann.
stimmt, hatte ich gar nicht bedacht. Schoen, dass es nun geloest ist :)
LG Felix
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