Irreführender Beweis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Do 08.10.2009 | | Autor: | Angio |
| Aufgabe | Sei U ein Unterraum eines (endlichdimensionalen) Vektorraumes V. Dann ist jeder Komplementärraum von U eindimensional.
Beweis:
Sei b1,....,bn eine Basis von U und b1,....,bn,....,bm eine Erweiterung zu einer Basis von V.
Nach dem Fortsetzungssatz gibt es eine Linearforum aus dem Dualraum V*, die allen Vektoren b1...bn den Wert 0 und allen Vektoren b1,....,bn+1 den Wert 1. Dann ist U der Kern dieser Linearen Abbildung, also eine Hyperebene von V.
Jeder Komplementärraum einer Hyperebene ist eindimensional. Da U nicht weiter festgelegt wurde, gilt dieser Beweis auch für jeden Komplementärraum von U, also ist auch U eindimensional. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hilfe!
Was stimmt bei diesem Beweis nicht? Ich habe ihn mir selbst ausgedacht und ich komme nicht drauf, was falsch sein könnte.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Sei U ein Unterraum eines (endlichdimensionalen)
> Vektorraumes V. Dann ist jeder Komplementärraum von U
> eindimensional.
>
> Beweis:
> Sei b1,....,bn eine Basis von U und b1,....,bn,....,bm
> eine Erweiterung zu einer Basis von V.
> Nach dem Fortsetzungssatz gibt es eine Linearforum aus dem
> Dualraum V*, die allen Vektoren b1...bn den Wert 0 und
> allen Vektoren b1,....,bn+1 den Wert 1. Dann ist U der Kern
> dieser Linearen Abbildung,
Das stimmt nicht. Es ist U für dim [mm] U\not=n-1 [/mm] lediglich eine Teilmenge des Kerns.
Beispiel:
Sei [mm] B:=(b_1,...,b_5) [/mm] eine Basis von V, [mm] U:=.
[/mm]
Eine Basis des Kerns ist [mm] (b_1, b_2, b_3, b_4-b_5)
[/mm]
Gruß v. Angela
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