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| Aufgabe | | In einer Schießbude gibt es sehr gute und mittelmäßige Gewehre (Trefferwahrscheinlichkeiten 0,9 bzw. 0,7). Weil bei einem davon die geheime Kennzeichnung unleserlich geworden ist, macht der Besitzer mit ihm 20 Probeschüsse. Er weiß, dass ihm der Fehler, ein schlechtes Gewehr fälschlich für ein gutes zu halten, mehr Schaden bringt als der umgekehrte Irrtum (Verärgerung anspruchsvoller Kunden!). Er möchte daher die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler nur etwa halb so groß machen wie die für den zweiten Fehler. Welche Entscheidungsregel muss er aufstellen? |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe habe ich teils Schwierigkeiten, teils verstehe ich sie aber auch ganz gut...
Hier die Lösung aus dem Unterricht in der Schule:
H0: p=0,9 H1: p=0,7
n=20 A0: {k; ... 20} A1: {0;.....; k-1}
P (gutes Gewehr wird als schlecht eingestuft) =
= P hoch 20 index 0,9 (Z [mm] \le [/mm] k-1) =
= F hoch 20 index 0,9 (k-1) = α'
P (schlechtes Gewehr wird als gut eingestuft) =
= P hoch 20 index 0,7 (Z [mm] \ge [/mm] k) =
= 1 - F hoch 20 index 0,7 (k - 1) = β'
β' = 1/2 * α'
Ich verstehe nicht, wie der Lehrer auf die beiden Annahmebereiche gekommen ist??
Wofür steht in diesem Fall oder auch ganz generell das k??
Vielen Dank im Voraus & tut mir Leid, dass die Darstellung nicht ganz so gelungen ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Sa 07.07.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin el,
k steht für die anzahl der treffer.
nur als beispiel:
ich definiere meinen annahmebereich für H0:
[15; 20] d.h. wenn ich bei meinem versuch (20 schüsse) mindestens 15 treffer erzielt habe, entscheide ich mich für H0 -> nehme ich H0 an
daraus folgt, dass ich H0 ablehne, wenn die anzahl meiner treffer kleiner als 15 ist; d.h. mein ablehnungsbereich für H0 ist [0;14]. dies ist, gleichzeitig der annahmebereich für H1.
entscheidungsregel: wenn k<15 => H1 ; wenn k [mm] \ge [/mm] 15 => H0.
anmekrung: 15 habe ich hier nur als beispiel festgelegt. jetzt müsstest du prüfen, ob bei der grenze 15 auch die irrtumswahrscheinlichkeiten "passen", die in der aufgabenstellung gefordert sind. sonst müsste man die grenze k eben verschieben; also z.b. k=14 oder k=13 oder k=16 (usw.) wählen.
alles klar?
gruß
wolfgang
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Moin' Wolfgang
okay der Anfang leuchtet mir ein, nur wie meinst du das mit ob bei der grenze 15 auch die irrtumswahrscheinlichkeiten "passen" ?
Kann ich den Annahmebereich nicht willkührlich festlegen und wie kann ich das überprüfen?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Sa 07.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich will jetzt mal das Pferd von hinten aufzäumen (hoffentlich ohne dich dadurch zu verwirren):
Der Typ schießt 20 Mal mit dem Gewehr und erzielt dabei x Treffer.
Nun rechnet er aufgrund seiner Trefferzahl die Wahrscheinlihkeit aus, dass es sich dabei um das gute Gewehr gehandelt hat.
Da er im Zweifelsfall aber lieber ein gutes Gewehr billiger verkaufen würde, als ein schlechtes Gewehr als 1-A-Ware, muss die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um das gute Gewehr handelt, bei 0.66 liegen, bevor er es als "gut" verkauft.
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Hmm... ich dachte, man rechnet aus, wieviele Treffer man benötigt um von einem guten bzw. schlechten Gewehr sprechen zu können....?
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Deswegen sagte ich ja "Das Pferd von hinten aufzäumen". Es müsste aber auf das Gleiche rauskommen.
Der Erwartungswert des 70%-Gewehres wäre ja 14 Treffer. Und der Erwartungswert des 90%-Gewehres ist 18 Treffer.
Wenn du 16 Treffer hast, dann wirst du große Zweifel haben, ob du mit dem guten Gewehr schlecht getroffen hast oder mit dem schlechten Gewehr gut geschossen hast. Im Zweifelsfall aber... ==> siehe Aufgabe.
Also musst du eigentlich nur den Fall untersuchen, dass du 17 Treffer hast. Und 18 Treffer würde ich vorsichtshalber auch noch untersuchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Sa 07.07.2007 | | Autor: | el_grecco |
Okay; danke  Unser Lehrer hat sich dann auf k = 17 festgelegt, da dann α' = 13,3% und β' = 10,7% betragen und demnach die Bedingung β' = 1/2 * α' erfüllt ist.
Würde mich freuen, wenn Sie auch meine nächste Frage beantworten könnten, die ich bereits gepostet habe.
Danke
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Also soweit ist mir das Meiste mittlerweile klar, die Aufgabe geht aber noch weiter.
Hier die weitere Lösung gemäß meinem Eintrag aus dem Schulheft:
Konstruktion geeigneter Tests:
z.B.: H0: p = 0,1
H1: p = 0,3
n = 20 und α' [mm] \le [/mm] 5%
gesucht: Entscheidungsregel
A0 = {0;.....;k} A1 = {k+1;.....;20}
α' = P index H0 (Entscheidung für H1) =
= P hoch 20 index 0,1 (Z [mm] \ge [/mm] k+1)
= 1 - F hoch 20 index 0,1 (k) [mm] \le [/mm] 0,05
F hoch 20 index 0,1 (k) [mm] \ge [/mm] 0,95
Wie kommt der Lehrer darauf, dass p = 0,1 und p = 0,3 ist?
und wie kommt er auf α' [mm] \le [/mm] 5%?
und vor allem welchen Sinn hat das Ganze??
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Der Sinn von dem ganzen ist es letztendlich [mm]k[/mm] so zu wählen, dass [mm]\alpha'\leq 5[/mm] ist. Dass [mm]\alpha'<5[/mm] ist hat den Grund, dass man
die [mm]5[/mm] als Grenze für ein signifikantes Ergebnis definiert hat.
[mm]p_{0}=0.1[/mm] und [mm]p_{1}=0.3[/mm] sind jeweils die Gegenwahrscheinlichtkeiten einen Treffer zu landen, also die Wahrscheinlichkeit daneben zu schießen. Jetzt ist es gerade andersrum. [mm]k[/mm] ist jetzt die Zahl der Fehler. [mm]P^{n}_{p_{0}}(Z\leq k|H_{0})=\sum_{s=1}^{k}B(n,s,p)[/mm] bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass in [mm]A=[0,k][/mm] [mm]k[/mm] Fehler passieren. [mm]P^{n}_{p_{0}}(k+1\leq Z|H_{0})= \sum_{s=k+1}^{n}B(n,s,p)[/mm] bezeichnet den Fehler 1. Art. Das Gewehr ist das gute, wird aber aufgrund des Ergebnisses nicht genommen.
Und dieser Fehler muss [mm]\sum_{s=k+1}^{n}B(n,s,p)\leq 5[/mm] sein und damit muss [mm]95\leq \sum_{s=1}^{k}B(n,s,p)[/mm] gelten. Damit kann man das [mm]k[/mm] bestimmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Sa 07.07.2007 | | Autor: | hase-hh |
n8!
selbstverständlich legst du die grenze k willkürlich fest. aber diese grenze soll ja noch eine bedingung erfüllen, die dir in der aufgabe gegeben wurde. wenn ich mich recht entsinne: [mm] \alpha [/mm] soll (höchstens) halb so groß sein wie [mm] \beta [/mm] ... das meine ich mit "passen": für die gewählte grenze soll auch die randbedingung erfüllt sein.
nicht mehr und nicht weniger.
gruß
wolfgang
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