Iso(\IC) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildungen
[mm] $\mathrm{Iso}(\IC)= \{ \phi: \IC \rightarrow \IC | \phi \text{ erfüllt }\|\phi(z_{1})-\phi(z_{2})\| = \|z_{1}-z_{2}\|\text{ für alle }z_1, z_2 \in \IC \}$ [/mm]
mit der Komposition eine Gruppe bilden. |
Hallo,
hier mein Vorschlag:
Abgeschlossenheit:
Vor.: sei [mm] \phi_{1},\phi_{2} \in Iso(\IC)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi_{1} \circ \phi_{2}(x)=\phi_{1}(\phi_{2}(x))
[/mm]
mit Vor. [mm] \Rightarrow ||\phi_{1}(\phi_{2}(z_{1}))-\phi_{1}(\phi_{2}(z_{2})||=||\phi_{2}(z_{1})-\phi_{2}(z_{2})||=||z_{1}-z_{2}||
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi_{1}\circ\phi_{2} \in Iso(\IC)
[/mm]
Assoziativität:
[mm] \phi_{1}\circ(\phi_{2}\circ\phi_{3})(x)=\phi_{1}\circ\phi_{2}(\phi_{3}(x))=\phi_{1}(\phi_{2}(\phi_{3}(x)))
[/mm]
[mm] ((\phi_{1}\circ\phi_{2})\circ\phi_{3})(x)=(\phi_{1}(\phi_{2})\circ\phi_{3})(x)=\phi_{1}(\phi_{2}(\phi_{3}(x)))
[/mm]
passt also
neutrales Element:
sei [mm] \phi_{e}:z\rightarrow [/mm] z
[mm] \Rightarrow ||\phi\circ\phi_{e}(z_{1})-\phi\circ\phi_{e}(z_{2})||=||\phi(\phi_{e}(z_{1}))-\phi(\phi_{e}(z_{2}))||=||\phi(z_{1})-\phi(z_{2})||=||z_{1}-z_{2}||
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi\circ\phi_{e}=\phi
[/mm]
Inverse:
so und da hakt es jetzt...mein Gefühl sagt mir, dass [mm] \phi_{i} [/mm] bijektiv sein muss, und dann hätte man ja auch zu jedem Bild ein Urbild, oder?
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moin,
Injektivität kriegst du gezeigt nehme ich an.
Nimm dir einfach $x,y$ mit [mm] $\phi(x) [/mm] = [mm] \phi(y)$ [/mm] und folgere daraus, dass $x=y$ gelten muss (Hinweis: Eigenschaften von Normen).
Für Surjektivität fällt mir jetzt so spontan keine super Idee ein, allerdings lässt der Name "Iso" vermuten, dass die Abbildungen [mm] $\phi$ [/mm] alle linear sein könnten.
Könntest du das zeigen (ich garantiere nicht, dass sie alle linear sind) so wärst du zusammen mit der Injektivität fertig.
Aber da vielleicht noch jemand eine bessere Idee hat oder da es auch sein könnte, dass es nicht lineare gibt, die die Bedingung erfüllen, lass ich die Frage mal halb offen.
lg
Schadowmaster
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Fr 01.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> moin,
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> Injektivität kriegst du gezeigt nehme ich an.
> Nimm dir einfach [mm]x,y[/mm] mit [mm]\phi(x) = \phi(y)[/mm] und folgere
> daraus, dass [mm]x=y[/mm] gelten muss (Hinweis: Eigenschaften von
> Normen).
>
> Für Surjektivität fällt mir jetzt so spontan keine super
> Idee ein, allerdings lässt der Name "Iso" vermuten, dass
> die Abbildungen [mm]\phi[/mm] alle linear sein könnten.
> Könntest du das zeigen (ich garantiere nicht, dass sie
> alle linear sind) so wärst du zusammen mit der
> Injektivität fertig.
>
> Aber da vielleicht noch jemand eine bessere Idee hat oder
> da es auch sein könnte, dass es nicht lineare gibt, die
> die Bedingung erfüllen,
[mm] \phi(z):=\overline{z}
[/mm]
FRED
> lass ich die Frage mal halb
> offen.
>
> lg
>
> Schadowmaster
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So die Injektivität habe ich mittlerweile...aber die Surjektivität will mir nicht gelingen, auch eure Hinweise haben mich da noch nicht weiter gebracht. :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 03.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 02.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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