Isodensiten Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 25.02.2013 | | Autor: | magnusl |
Kann mir mal jedemand erklären, warum die Halbachsenlänge eines Isodensiten (Ellipsen/Höhenlinien) einer bivariaten Normalverteilung in Bezug auf die [mm] 2$\sigma$ [/mm] Umgebung gerade [mm] $h_i=2\left(\frac{\lambda_i}{\mu_{00}}\right)^{1/2}$ [/mm] beträgt,
mit [mm] $\mu_{00}$ [/mm] als Masse der Verteilung und [mm] $\lambda_i$ [/mm] als i-ten Eigenwert der Kovarianzmatrix der Verteilung?
Die Gleichung im multivariaten dreidimensionalen Fall würde mich ebenfalls interessieren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Kann mir mal jedemand erklären, warum die Halbachsenlänge
> eines Isodensiten (Ellipsen/Höhenlinien) einer bivariaten
> Normalverteilung in Bezug auf die 2[mm]\sigma[/mm] Umgebung gerade
> [mm]h_i=2\left(\frac{\lambda_i}{\mu_{00}}\right)^{1/2}[/mm]
> beträgt,
> mit [mm]\mu_{00}[/mm] als Masse der Verteilung und [mm]\lambda_i[/mm] als
> i-ten Eigenwert der Kovarianzmatrix der Verteilung?
Was hast du denn für Vorwissen?
Ehrlich gesagt weiß ich auch nach deiner Erklärung noch nicht, was es mit dem [mm] $\mu_{00}$ [/mm] auf sich hat.
Du gehst aus von der multivariaten Dichte
$f(x) = [mm] \frac{1}{(2\pi)^{d/2}*|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}\cdot \exp(-\frac{1}{2}(x-\mu)^{T}*\Sigma^{-1}*(x-\mu))$
[/mm]
und siehst, das Höhenlinien die Form
[mm] $-\frac{1}{2}(x-\mu)^{T}*\Sigma^{-1}*(x-\mu) [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}c$
[/mm]
haben müssen. Nun weißt du, dass [mm] $\Sigma$ [/mm] symmetrisch positiv definit ist und kannst Hauptachsentrafo machen, d.h. es gibt Matrix $P$ und Diagonalmatrix [mm] $\Lambda [/mm] = [mm] diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$ [/mm] mit [mm] $P^{T}\Lambda [/mm] P = [mm] \Sigma$.
[/mm]
Mit der Def. $y := P [mm] (x-\mu)$ [/mm] (Drehung + Spiegelung) nehmen dann die Höhenlinien die Form
[mm] $-\frac{1}{2}y^{T}\Lambda [/mm] y = [mm] -\frac{1}{2}c$
[/mm]
an. Es ist [mm] $y^{T}\Lambda [/mm] y = c$ im 2D-Fall: [mm] $\frac{y_1^2}{\lambda_1} [/mm] + [mm] \frac{y_2^2}{\lambda_2} [/mm] = c$ genau eine Ellipsengleichung (in 3D Ellipsoid-Gleichung).
Die Halbachsenlängen sind entsprechend [mm] $\sqrt{\lambda_1 *c }, \sqrt{\lambda_2 * c}$.
[/mm]
Um jetzt das mit den [mm] 2\sigma [/mm] zu regeln, müsstest du erstmal erklären, was du unter einer [mm] $2\sigma$-Umgebung [/mm] verstehst. Es gibt ja jetzt mehrere [mm] $\sigma$ [/mm] s, eines in der Komponente oben links in der Kovarianzmatrix, eines unten rechts.
> Die Gleichung im multivariaten dreidimensionalen Fall
> würde mich ebenfalls interessieren.
Die Gleichung wird im wesentlichen genau so aussehen.
Viele Grüße,
Stefan
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