Isolierte Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Fr 06.07.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage bzgl. Nullstellen ganzer Funktionen.
Bekanntlich liegen die Nullstellen einer ganzen Funktion [mm] \f [/mm] isoliert, d.h. um jede Nullstelle gibt es eine [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung, in der keine weiteren Nullstellen liegen, m.a.W. die Menge der Nullstellen ist diskret.
Die Frage ist jetzt ,ob [mm] \inf\{|x-y|:f(x)=f(y) =0, x \neq y\}>0 [/mm] , existiert also ein Mindestabstand, den je 2 verschiedene Nullstellen voneinander haben ?
Die Aussage ist für diskrete Mengen im allgemeinen falsch, da es Mengen gibt, deren Punkte isoliert liegen, das o.g. Infimum aber 0 ist, z. B. [mm] \{\frac{1}{n}|n \in \mathbb{N}\}.
[/mm]
Vieln Dank für Eure Mühe.
heyks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Fr 06.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich weiß nicht was eine ganze Funktion ist. Die Aussage ist aber sogar für diffbare Funktionen nicht richtig. Z. B. [mm] \sin\left(\bruch{1}{x^{2}}\right) [/mm] nah bei Null. Außerdem sind die Nullstellen von dieser Funktion auch isoliert.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Fr 06.07.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo dormat,
eine ganze Funktion ist eine auf ganz [mm] \mathbb{C} [/mm] komplex differenzierbare, also insbesondere stetige Funktion.
Dein Beispiel wäre ein Gegenbeispiel , wenn [mm] \sin (\frac{1}{x^2}) [/mm] in x =0
komplex diff´bar wäre.
LG
heyks
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