Isolierter Punkt => Randpunkt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Herbart |
| Aufgabe | | Ist ein isolierter Punkt ein Randpunkt? |
Hallo zusammen,
da ich momentan versuche topologische Begriffe aus der Vorlesung zu verstehen und sinnvoll miteinander zu verknüpfen, frage ich mich schon längere Zeit, ob man sagen kann, dass ein isolierter Punkt ein Randpunkt ist.
Hier meine Def.:
x heißt isolierter Punkt von A, wenn ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ex., s.d. der Schnitt [mm] U_\varepsilon (x)\cap [/mm] A = {x} ist.
x heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch äußerer Punkt zu A ist <=> x ist genau dann Randpunkt von A, wenn jedes [mm] U_\varepsilon(x) [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0 Punkte aus A und Punkte aus M [mm] \setminus [/mm] A enthält.
Jetzt habe ich mir gedacht, dass [mm] U_\varepsilon(x) [/mm] mindestens einen Punkt aus A enthält, wenn es ein isolierter Punkt ist, und zwar den Punkt x selbst. Und als isolierter Punkt enthält [mm] U_\varepsilon(x) [/mm] natürlich auch viele Punkte aus M [mm] \setminus [/mm] A.
Sind diese Überlegungen, wenn auch nicht formal ganz ausgereift, richtig oder habe ich da einen Denkfehler?
Grüße
Herbart
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Herbart,
> Ist ein isolierter Punkt ein Randpunkt?
> Hier meine Def.:
> x heißt isolierter Punkt von A, wenn ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> ex., s.d. der Schnitt [mm]U_\varepsilon (x)\cap[/mm] A = {x} ist.
> x heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch
> äußerer Punkt zu A ist <=> x ist genau dann Randpunkt von
> A, wenn jedes [mm]U_\varepsilon(x)[/mm] mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0 Punkte
> aus A und Punkte aus M [mm]\setminus[/mm] A enthält.
x ist also ein Punkt in einem metrischen Raum M und [mm] $A\subseteq [/mm] M$?
> Jetzt habe ich mir gedacht, dass [mm]U_\varepsilon(x)[/mm]
> mindestens einen Punkt aus A enthält, wenn es ein
> isolierter Punkt ist, und zwar den Punkt x selbst.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und als
> isolierter Punkt enthält [mm]U_\varepsilon(x)[/mm] natürlich auch
> viele Punkte aus M [mm]\setminus[/mm] A.
Das gilt in manchen metrischen metrischen Räumen $M$, aber nicht in allen.
Es gilt z.B. in [mm] $M=\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Metrik.
Betrachte hingegen mal eine einelementige Menge [mm] $M=\{x\}$.
[/mm]
Dann gibt es genau eine Metrik auf $M$.
Die Teilmenge [mm] $A:=M\subseteq [/mm] M$ hat $x$ als isolierten Punkt, aber nicht als Randpunkt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Herbart |
> x ist also ein Punkt in einem metrischen Raum M und
> [mm]A\subseteq M[/mm]?
Richtig. Habe ich vergessen zu erwähnen.
> > Und als
> > isolierter Punkt enthält [mm]U_\varepsilon(x)[/mm] natürlich auch
> > viele Punkte aus M [mm]\setminus[/mm] A.
> Das gilt in manchen metrischen metrischen Räumen [mm]M[/mm], aber
> nicht in allen.
>
> Es gilt z.B. in [mm]M=\IR[/mm] mit der gewöhnlichen Metrik.
>
>
> Betrachte hingegen mal eine einelementige Menge [mm]M=\{x\}[/mm].
>
> Dann gibt es genau eine Metrik auf [mm]M[/mm].
>
> Die Teilmenge [mm]A:=M\subseteq M[/mm] hat [mm]x[/mm] als isolierten Punkt,
> aber nicht als Randpunkt.
Stimmt. Man muss ja noch andere Metriken und Mengen beachten. Ich stell mir irgendwie immer automatisch [mm] \IR [/mm] vor mit der euklidischen Metrik :)
Aber prinzipiell für M= [mm] \IR [/mm] mit der eukl. Metrik würde die Aussage im Betreff stimmen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Fr 10.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > x ist also ein Punkt in einem metrischen Raum M und
> > [mm]A\subseteq M[/mm]?
>
> Richtig. Habe ich vergessen zu erwähnen.
>
> > > Und als
> > > isolierter Punkt enthält [mm]U_\varepsilon(x)[/mm] natürlich auch
> > > viele Punkte aus M [mm]\setminus[/mm] A.
> > Das gilt in manchen metrischen metrischen Räumen [mm]M[/mm],
> aber
> > nicht in allen.
> >
> > Es gilt z.B. in [mm]M=\IR[/mm] mit der gewöhnlichen Metrik.
> >
> >
> > Betrachte hingegen mal eine einelementige Menge [mm]M=\{x\}[/mm].
> >
> > Dann gibt es genau eine Metrik auf [mm]M[/mm].
> >
> > Die Teilmenge [mm]A:=M\subseteq M[/mm] hat [mm]x[/mm] als isolierten Punkt,
> > aber nicht als Randpunkt.
>
> Stimmt. Man muss ja noch andere Metriken und Mengen
> beachten. Ich stell mir irgendwie immer automatisch [mm]\IR[/mm] vor
> mit der euklidischen Metrik :)
> Aber prinzipiell für M= [mm]\IR[/mm] mit der eukl. Metrik würde
> die Aussage im Betreff stimmen, oder?
>
Ja, wenn A eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist, so ist ein isolierter Punkt von A auch ein Randpunkt von A.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Herbart |
Danke für deine Bestätigung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Herbart |
> Hier meine Def.:
> x heißt isolierter Punkt von A, wenn ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> ex., s.d. der Schnitt [mm]U_\varepsilon (x)\cap[/mm] A = {x} ist.
> x heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch
> äußerer Punkt zu A ist <=> x ist genau dann Randpunkt von
> A, wenn jedes [mm]U_\varepsilon(x)[/mm] mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0 Punkte
> aus A und Punkte aus M [mm]\setminus[/mm] A enthält.
> Jetzt habe ich mir gedacht, dass [mm]U_\varepsilon(x)[/mm]
> mindestens einen Punkt aus A enthält, wenn es ein
> isolierter Punkt ist, und zwar den Punkt x selbst. Und als
> isolierter Punkt enthält [mm]U_\varepsilon(x)[/mm] natürlich auch
> viele Punkte aus M [mm]\setminus[/mm] A.
Mir fällt gerade auf, dass in der Definition der Plural "Punkte" erwähnt wird, d.h. mein informeller "Beweis" ist auch für M = [mm] \IR [/mm] nichtig, denn wenn x ein isolierter Punkt ist und nur als einzigen Punkt in A sich selbst enthält, so erfüllt dies nicht die Definition, da zwar ein Punkt in A liegt, aber mindestens 2 Punkte gefordert sind! Oder irre ich mich?
Ist ein isolierter Punkt nun Randpunkt oder nicht?
Als Bsp. wäre [mm] \IN [/mm] denkbar. Ganz [mm] \IN [/mm] sind isolierte Punkte, aber sind sie alle auch Randpunkte in [mm] \IR [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:20 So 12.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > x heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch
> > äußerer Punkt zu A ist <=> x ist genau dann Randpunkt von
> > A, wenn jedes [mm]U_\varepsilon(x)[/mm] mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0 Punkte
> > aus A und Punkte aus M [mm]\setminus[/mm] A enthält.
> Mir fällt gerade auf, dass in der Definition der Plural
> "Punkte" erwähnt wird,
Das Wort "Punkte" ist hier zu verstehen als "mindestens ein Punkt".
Damit dürfte deine Frage sich schon erübrigt haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 So 12.05.2013 | | Autor: | Herbart |
> > Mir fällt gerade auf, dass in der Definition der Plural
> > "Punkte" erwähnt wird,
> Das Wort "Punkte" ist hier zu verstehen als "mindestens
> ein Punkt".
Dann müssten doch dementsprechend alle Elemente aus [mm] \IN [/mm] in [mm] \IR [/mm] auch Randpunkte sein, da sie mindestens einen Punkt aus [mm] \IN [/mm] nämlich den Punkt selbst (z.B. im Fall 1 [mm] \in \IN [/mm] die 1 selbst) und Punkte aus [mm] \IR \setminus \IN [/mm] in jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung [mm] (\varepsilon>0) [/mm] enthalten.
Kann das jemand bestätigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 So 12.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Dann müssten doch dementsprechend alle Elemente aus [mm]\IN[/mm] in
> [mm]\IR[/mm] auch Randpunkte sein, da sie mindestens einen Punkt aus
> [mm]\IN[/mm] nämlich den Punkt selbst (z.B. im Fall 1 [mm]\in \IN[/mm] die 1
> selbst) und Punkte aus [mm]\IR \setminus \IN[/mm] in jeder
> [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung [mm](\varepsilon>0)[/mm] enthalten.
> Kann das jemand bestätigen?
So ist es.
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