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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:52 So 30.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo im Matheraum,
ich habe bei folgender Aufgabe irgendwie Verständnisproblem...:
Man bestimme K= [mm] F_2
[/mm]
"bis auf Isometrie" (Was soll das denn heißen???) alle [mm] (V,\beta) [/mm], für die [mm]\beta[/mm] bilinear, (ich glaube, hier kommt ein Komma, oder gibt es bilinear-syymetrisch??) symmetrisch und [mm] (V,\beta) [/mm] zweidimensional und regulär (nicht ausgeartet???) ist.
Ich verstehe nicht, wie diese Aufgabe gemeint ist, obwohl ich schon die Def. von Isometrie nach geschaut habe. Vor allem das "bis auf Isometrie" verstehe ich nicht. Weiß vielleicht jemand wie das gemeint ist.
Vielen vielen Dank schon mal, Cathrine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 So 30.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ich weiß nicht, ob ich jetzt auf dem Holzweg bin:
Die Dimension von V muss doch wegen [mm] F_2 [/mm] (ist doch das mit den Modulotafeln, oder??? 0,0,1,0 etc?)
dim (V) = 2 sein, nicht wahr???
Und auf [mm]\beta[/mm] beziehen sich dann die Eigenschaften wie bilinear, symmetrisch und schließlich auf [mm] (V,\beta) [/mm] das regulär, welches man sicher wieder mit der Ausgeartetheit vergleichen kann. Steht so ähnlich in meinem Skript, nur, dass sich ausgeartetheit eben auf V bezieht und regulär auf [mm] \beta, [/mm] richtig???
Weiterhin müsste die Sache mit dem metrischen Homomorphismus noch erfüllt sein. Und K-VR muss ein ISomorphismus sein (wgn ISometrie?)...
Und nach Bemerkungen im Skript sind [mm] (V,\beta) [/mm] genau dann regulär, wenn ein metrischer Homomorphismus injektiv ist.
Ich könnte das ja jetzt in "REchenform" bringen und hätte dann zumindest einen Anfang, oder liege ich total falsch???
Ich wünsche euch im übrigen allen schöne Pfingsten, eure Cathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Cathrine!
> ich habe bei folgender Aufgabe irgendwie
> Verständnisproblem...:
>
> Man bestimme [mm] $\IK= \IF_2$
[/mm]
Du meinst:"Man bestimme für den Körper [mm] $\IK=\IF_2$..."
[/mm]
> "bis auf Isometrie" (Was soll das denn heißen???) alle
> [mm](V,\beta) [/mm], für die [mm]\beta[/mm] bilinear, (ich glaube, hier kommt
> ein Komma, oder gibt es bilinear-syymetrisch??) symmetrisch
> und [mm](V,\beta)[/mm] zweidimensional und regulär (nicht
> ausgeartet???) ist.
>
> Ich verstehe nicht, wie diese Aufgabe gemeint ist, obwohl
> ich schon die Def. von Isometrie nach geschaut habe. Vor
> allem das "bis auf Isometrie" verstehe ich nicht. Weiß
> vielleicht jemand wie das gemeint ist.
Zwei Räume $(V,s)$ und [mm] $(\tilde{V},\tilde{s})$ [/mm] heißen isometrisch, wenn es einen Isomorphismus $F:V [mm] \to \tilde{V}$ [/mm] gibt mit
$s(v,v') = [mm] \tilde{s}(F(v),F(v'))$
[/mm]
für alle [mm] $v,\, [/mm] v' [mm] \in [/mm] V$.
Das heißt also: Man kann sich in jeder Isometrieklasse auf die Angabe eines Repräsentanten konzentrieren und muss nicht auch noch alle dazu isometrischen Vektorräume aufzählen (das wäre auch schwierig, denn es sind natürlich i.A. unendlich viele).
Da wir nur bis auf Isometrie zweidimensionale Vektorräume über [mm] ${\IF}_2$ [/mm] mit symmetrischer, regulärer Bilinearform suchen, genügt es den [mm] ${\IF}_2^2$ [/mm] zu betrachten. Die Bilinearformen dort sind aber eineindeutig durch die darstellende Gramsche Matrix gegeben.
Gesucht sind also alle symmetrischen Matrizen aus [mm] $GL(2,{\IF}_2)$.
[/mm]
Dies sind aber gerade (ich hoffe ich habe keine vergessen):
[mm] $A_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
[mm] $A_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, [/mm]
[mm] $A_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
[mm] $A_4 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$,
[/mm]
mit den zugehörigen vier Bilinearformen:
[mm] $s_i(x,y) [/mm] = [mm] x^T A_i [/mm] y$ ($x,y [mm] \in \IF_2^2$, [/mm] $i=1,2,3,4$)
Liebe Grüße
Stefan
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