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Forum "Topologie und Geometrie" - Isometrie
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Isometrie: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 17.06.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Sei V ein euklidischer Vektorraum, f : V -> V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Gilt ||f(v)||=||v|| für alle v [mm] \in [/mm] V , so ist f eine Isometrie.

Ich brauche da nur mal einen Tipp, stehe auf dem Schlauch:

Habe so begonnen:

||f(v)||+||f(w)||=||v||+||w||

Ich muss ja hier hin:

[mm] $\langle [/mm] f(v), f(w) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v,w [mm] \rangle$ [/mm]

Wegen der Linearität gilt doch folgendes:

[mm] $||f(v)||+||f(w)||=\langle [/mm] f(v+w), f(v+w) [mm] \rangle=\langle [/mm] v,v [mm] \rangle+\langle [/mm] w,w [mm] \rangle$ [/mm]

Ist der Anfang überhaupt korrekt oder stimmt das so mit Linearität nicht?

Danke schonmal.

        
Bezug
Isometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Mo 18.06.2012
Autor: kamaleonti

Hallo,
> Sei V ein euklidischer Vektorraum, f : V -> V eine lineare
> Abbildung. Zeigen Sie:
>  (a) Gilt ||f(v)||=||v|| für alle v [mm]\in[/mm] V , so ist f eine
> Isometrie.
>  Ich brauche da nur mal einen Tipp, stehe auf dem
> Schlauch:
>  
> Habe so begonnen:
>  
> ||f(v)||+||f(w)||=||v||+||w||
>  
> Ich muss ja hier hin:
>  
> [mm]\langle f(v), f(w) \rangle = \langle v,w \rangle[/mm]
>  
> Wegen der Linearität gilt doch folgendes:
>  
> [mm]||f(v)||+||f(w)||=\langle f(v+w), f(v+w) \rangle=\langle v,v \rangle+\langle w,w \rangle[/mm]
>  
> Ist der Anfang überhaupt korrekt oder stimmt das so mit
> Linearität nicht?

Eine Norm ist nicht additiv, sondern es gilt nur die Dreiecksungleichung.

Verwende besser die Polarisierungsformel

      <x,y>= [mm] \frac{1}{4}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2). [/mm]

Erinnerung: [mm] \|x\|^2=. [/mm]

>  
> Danke schonmal.

LG

Bezug
                
Bezug
Isometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:36 Di 19.06.2012
Autor: AntonK

Ahhh, na klar, ich habs nun, danke :D

Bezug
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