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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Di 10.11.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Seien (V, <,>_{V}), (W,<,>_{W}) euklid. [mm] \IR-VR, \phi: [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] W eine (nicht als [mm] \IR-linear [/mm] vorausg.) Abb.
Zeige
1) Ist [mm] \phi [/mm] eine Isometrie mit [mm] \phi(0)=0, [/mm] so erhält [mm] \phi [/mm] das SP, d.h. es gilt [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: [mm] _{V}=<\phi(v),phi(w)>_{W}.
[/mm]
Gilt auch die Umkehrung?
2) Erhält [mm] \phi [/mm] das SP, so ist [mm] \phi \IR-linear. [/mm] |
hallo,
ich bin folgenden an die aufgabe herangegangen
1) betr. [mm] d(v,w)=d(\phi(v),\phi(w))
[/mm]
dann ist [mm] =<\phi(v)-\phi(w),\phi(v)-\phi(w)>
[/mm]
[mm] \Rightarrow +-2=<\phi(v),\phi(v)>+-2<\phi(v),\phi(w)> [red](\*)[/red]
[/mm]
weil [mm] \phi(0)=0 [/mm] erhalten wir
[mm] ==<\phi(v)-0,\phi(v)-0>=<\phi(v),\phi(v)>
[/mm]
analog auf für [mm] =<\phi(w),\phi(w)>
[/mm]
setze in [mm] [red](\*)[/red]
[/mm]
[mm] \Rightarrow <\phi(v),\phi(v)>+<\phi(w),\phi(w)>-2=<\phi(v),\phi(v)>+<\phi(w),\phi(w)>-2<\phi(v),\phi(w)>
[/mm]
[mm] \gdw =<\phi(v),\phi(w)>
[/mm]
zu 2) betr. [mm] d(\phi(\lambda v),\lambda \phi(v))^2=<\phi(\lambda v)-\lambda\phi(v),\phi(\lambda v)-\lambda\phi(v) [/mm] >= [mm] <\phi(\lambda [/mm] v), [mm] \phi(\lambda [/mm] v)>- [mm] 2\lambda<\phi(v),\phi(\lambda v)>+\lambda^2<\phi(v),\phi(v)>=<\lambda v,\lambda v>-2\lambda=0
[/mm]
dann ist [mm] \phi(\lambda v)=\lambda \phi(v)
[/mm]
Analof für [mm] \phi(v_1+v_2)=\phi(v_1)+\phi(v_2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] linear
stimmt es? habe ich damit alles gezeigt was gezeigt werden muss?
dankeschön im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Do 12.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien (V, <,>_{V}), (W,<,>_{W}) euklid. [mm]\IR-VR, \phi:[/mm] V
> [mm]\rightarrow[/mm] W eine (nicht als [mm]\IR-linear[/mm] vorausg.) Abb.
> Zeige
> 1) Ist [mm]\phi[/mm] eine Isometrie mit [mm]\phi(0)=0,[/mm] so erhält [mm]\phi[/mm]
> das SP, d.h. es gilt [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V:
> [mm]_{V}=<\phi(v),phi(w)>_{W}.[/mm]
> Gilt auch die Umkehrung?
>
> 2) Erhält [mm]\phi[/mm] das SP, so ist [mm]\phi \IR-linear.[/mm]
>
> hallo,
>
> ich bin folgenden an die aufgabe herangegangen
>
> 1) betr. [mm]d(v,w)=d(\phi(v),\phi(w))[/mm]
>
> dann ist [mm]=<\phi(v)-\phi(w),\phi(v)-\phi(w)>[/mm]
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> [mm]\Rightarrow +-2=<\phi(v),\phi(v)>+-2<\phi(v),\phi(w)> [red](\*)[/red][/mm]
>
> weil [mm]\phi(0)=0[/mm] erhalten wir
>
> [mm]==<\phi(v)-0,\phi(v)-0>=<\phi(v),\phi(v)>[/mm]
>
> analog auf für [mm]=<\phi(w),\phi(w)>[/mm]
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> setze in [mm][red](\*)[/red][/mm]
>
> [mm]\Rightarrow <\phi(v),\phi(v)>+<\phi(w),\phi(w)>-2=<\phi(v),\phi(v)>+<\phi(w),\phi(w)>-2<\phi(v),\phi(w)>[/mm]
>
> [mm]\gdw =<\phi(v),\phi(w)>[/mm]
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> zu 2) betr. [mm]d(\phi(\lambda v),\lambda \phi(v))^2=<\phi(\lambda v)-\lambda\phi(v),\phi(\lambda v)-\lambda\phi(v)[/mm]
> >= [mm]<\phi(\lambda[/mm] v), [mm]\phi(\lambda[/mm] v)>-
> [mm]2\lambda<\phi(v),\phi(\lambda v)>+\lambda^2<\phi(v),\phi(v)>=<\lambda v,\lambda v>-2\lambda
> v>+ [mm]\lambda^2=0[/mm]
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> dann ist [mm]\phi(\lambda v)=\lambda \phi(v)[/mm]
>
> Analof für [mm]\phi(v_1+v_2)=\phi(v_1)+\phi(v_2)[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \phi[/mm] linear
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> stimmt es? habe ich damit alles gezeigt was gezeigt werden
> muss?
Ja, das hast Du
FRED
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> dankeschön im voraus.
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