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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 04.06.2006 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | Für 3 [mm] \len [/mm] sei [mm] D_n [/mm] die Diedergruppe der Ordnung 2n, es sei H die Quaternionengruppe der Ordnung 8, und sei [mm] S_3 [/mm] die symmetrische Gruppe auf 3 Elementen.
Zeigen Sie:
Die drei Gruppen [mm] D_8, D_4 [/mm] x [mm] \IZ_2 [/mm] und H x [mm] \IZ_2 [/mm] sind paarweise nicht isomorph. |
Hallo!
Ich hatte eigentlich geglaubt, die Aufgabe schon richtig gelöst zu haben. Als Grundlage für meinen Beweis nahm ich folgenden Satz her:
Isomorphie [mm] \gdw [/mm]
- selbe Gruppenordnung UND
- selbe Elementordnungen und selbe Anzahl von Elementen gleicher Ordnung
Also beispielsweise:
Elemente von [mm] D_8:
[/mm]
8 Spiegelungen mit Ordnung 2
8 Drehungen mit:
- 1x Ordnung 1 (Id)
- 1x Ordnung 2
- 2x Ordnung 4
- 4x Ordnung 8
Also insgesamt: ord 1 (1x), ord 2 (9x), ord 4 (2x), ord 8 (4x)
Betrachtet man die Elemente von [mm] D_4 [/mm] x [mm] \IZ_2 [/mm] genauer, erhält man:
ord 1 (1x), ord 2 (11x), ord 4 (4x)
[mm] D_8 [/mm] und [mm] D_4 [/mm] x [mm] \IZ_2 [/mm] sind also nicht isomorph zueinander, denn beispielsweise gibt es in [mm] D_8 [/mm] 9 Elemente der Ordnung 2, in [mm] D_4 [/mm] x [mm] \IZ_2 [/mm] gibt es dagegen 11 Elemente dieser Ordnung.
Jetzt meine Frage:
Ist obiger Satz richtig oder gilt nur die Implikation?
Falls nicht richtig: wie könnte man dann zeigen, dass die Gruppen paarewise nicht isomorph sind?
Bin für jeden Hinweis dankbar!!
Schönen Tag noch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für 3 [mm]\len[/mm] sei [mm]D_n[/mm] die Diedergruppe der Ordnung 2n, es sei
> H die Quaternionengruppe der Ordnung 8, und sei [mm]S_3[/mm] die
> symmetrische Gruppe auf 3 Elementen.
> Zeigen Sie:
> Die drei Gruppen [mm]D_8, D_4[/mm] x [mm]\IZ_2[/mm] und H x [mm]\IZ_2[/mm] sind
> paarweise nicht isomorph.
> Hallo!
> Ich hatte eigentlich geglaubt, die Aufgabe schon richtig
> gelöst zu haben. Als Grundlage für meinen Beweis nahm ich
> folgenden Satz her:
> Isomorphie [mm]\gdw[/mm]
> - selbe Gruppenordnung UND
> - selbe Elementordnungen und selbe Anzahl von Elementen
> gleicher Ordnung
>
> Also beispielsweise:
> Elemente von [mm]D_8:[/mm]
> 8 Spiegelungen mit Ordnung 2
> 8 Drehungen mit:
> - 1x Ordnung 1 (Id)
> - 1x Ordnung 2
> - 2x Ordnung 4
> - 4x Ordnung 8
> Also insgesamt: ord 1 (1x), ord 2 (9x), ord 4 (2x), ord 8
> (4x)
>
> Betrachtet man die Elemente von [mm]D_4[/mm] x [mm]\IZ_2[/mm] genauer, erhält
> man:
> ord 1 (1x), ord 2 (11x), ord 4 (4x)
Bist du dir da sicher? Ich wuerde sagen, es gibt 8 Elemente der Ordnung 4.
> [mm]D_8[/mm] und [mm]D_4[/mm] x [mm]\IZ_2[/mm] sind also nicht isomorph zueinander,
> denn beispielsweise gibt es in [mm]D_8[/mm] 9 Elemente der Ordnung
> 2, in [mm]D_4[/mm] x [mm]\IZ_2[/mm] gibt es dagegen 11 Elemente dieser
> Ordnung.
Genau.
> Jetzt meine Frage:
> Ist obiger Satz richtig oder gilt nur die Implikation?
Die Implikation [mm] $\Rightarrow$ [/mm] gilt auf jeden Fall. Mit der anderen Implikation [mm] $\Leftarrow$ [/mm] kannst du hier allerdings eh nichts anfangen.
> Falls nicht richtig: wie könnte man dann zeigen, dass die
> Gruppen paarewise nicht isomorph sind?
So wie du es schon gemacht hast. Ansonsten kannst du noch versuchen zu zeigen, das gewisse Relationen zwischen Elementen einer Gruppe in der anderen Gruppe nicht gelten koennen etc., aber das ist schon schwieriger.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mo 05.06.2006 | | Autor: | julia.k |
Hallo Felix!
Wieder mal tausend Dank für deine Hilfe! Natürlich, ich brauche nur die Implikation. Das ist niemandem aufgefallen, hab nämlich diese Aufgabe in einem Hauptseminar vorgerechnet, und alle - einschließlich Professor - fanden diese Lösung falsch, weil die Replikation nicht stimme. Dass man die gar nicht braucht... naja.
Zu den Elementen von [mm] D_8:
[/mm]
[mm] D_n [/mm] hat immer 2n Elemente, davon n Spiegelungen und n Drehungen.
In [mm] D_8 [/mm] schauen die 8 Drehungen folgendermaßen aus:
Ordnung 1: Identität
Ordnung 2: [mm] \delta^4
[/mm]
Ordnung 4: [mm] \delta^2, \delta^6
[/mm]
Ordnung 8: [mm] \delta, \delta^3, \delta^5, \delta^7
[/mm]
wobei [mm] \delta [/mm] := Drehung um 2/8 * [mm] \pi
[/mm]
Also mit Ordnung 8 gibt es 4 Elemente und ich bin mir sicher, dass das alle sind.
Schönen Feiertag!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Wieder mal tausend Dank für deine Hilfe! Natürlich, ich
> brauche nur die Implikation. Das ist niemandem aufgefallen,
> hab nämlich diese Aufgabe in einem Hauptseminar
> vorgerechnet, und alle - einschließlich Professor - fanden
> diese Lösung falsch, weil die Replikation nicht stimme.
> Dass man die gar nicht braucht... naja.
Tja 
Aber wo wir beim Thema sind: Kannte jemand zufaellig ein Gegenbeispiel fuer die Aussage? Das wuerde mich sehr interessieren, da ich da auch schonmal drueber nachgedacht hab, aber zu faul war explizit ein Gegenbeispiel zu konstruieren 
> Zu den Elementen von [mm]D_8:[/mm]
> [mm]D_n[/mm] hat immer 2n Elemente, davon n Spiegelungen und n
> Drehungen.
> In [mm]D_8[/mm] schauen die 8 Drehungen folgendermaßen aus:
> Ordnung 1: Identität
> Ordnung 2: [mm]\delta^4[/mm]
> Ordnung 4: [mm]\delta^2, \delta^6[/mm]
> Ordnung 8: [mm]\delta, \delta^3, \delta^5, \delta^7[/mm]
>
> wobei [mm]\delta[/mm] := Drehung um 2/8 * [mm]\pi[/mm]
Genau. Und die restlichen Elemente erhaelst du, wenn du eine Spiegelung [mm] $\tau$ [/mm] fixierst: Die anderen Elemente sind dann [mm] $\tau \delta^i$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] i < 8$.
Nun ist [mm] $\tau \delta [/mm] = [mm] \delta^{-1} \tau$, [/mm] womit [mm] $\tau \delta^i [/mm] = [mm] \delta^{-i} \tau$ [/mm] ist. Damit bekommst du [mm] $(\tau \delta^i)^2 [/mm] = [mm] \tau \delta^i \tau \delta^i [/mm] = [mm] \tau \delta^i \delta^{-i} \tau [/mm] = [mm] \tau \tau [/mm] = id$, womit alle weiteren Elemente die Ordnung 2 haben.
LG Felix
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