Isomorphie < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 06.11.2011 | | Autor: | Flock |
| Aufgabe | | Die Linearen Abbildungen Lin(V,W) sind isomorph zu ihren Darstellungsmatrizen [mm] M(\IR^n, \IR^m). [/mm] |
Hallo, Forum!
Ich komme nicht weiter nei der Aufgabe.
Also sind drei Dinge zu erledigen:
1) Homomorphismus nachrechnen
Meine Idee:
Sowohl Matrizen als auch die Linearen Abbildungen bilden einen Vektorraum. Ich würde die Abbildung so definieren:
h: Lin(V,W) -> [mm] M(\IR^n, \IR^m), [/mm] noch weiß ich, dass für den Raum der Linearen Funktionen gilt:
(f+g)(x) = f(x) + g(x), wobei f,g lineare Funktionen
(a*f)(x) = a*f(x), wobei f lineare Funktion und a ein Skalar
ich muss zeigen:
h(f+g) = h(f) + h(g)
h(a*f) = a*h(f)
und hier hackts...
2) Injektivität nachrechnen
Ich muss zeigen, dass nur die Nullabbildung im Kern liegt,
h(f) = 0 -> f = 0
3) Surjektivität nachrechnen
reicht es hinzuschreiben h(id) = I (Einheitsmatrix)?
Vielen Dank im Voraus
Flock
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Linearen Abbildungen Lin(V,W) sind isomorph zu ihren
> Darstellungsmatrizen [mm]M(\IR^n, \IR^m).[/mm]
> Hallo, Forum!
>
> Ich komme nicht weiter nei der Aufgabe.
>
> Also sind drei Dinge zu erledigen:
>
> 1) Homomorphismus nachrechnen
> Meine Idee:
> Sowohl Matrizen als auch die Linearen Abbildungen bilden
> einen Vektorraum. Ich würde die Abbildung so definieren:
> h: Lin(V,W) -> [mm]M(\IR^n, \IR^m),[/mm] noch weiß ich, dass für
> den Raum der Linearen Funktionen gilt:
> (f+g)(x) = f(x) + g(x), wobei f,g lineare Funktionen
> (a*f)(x) = a*f(x), wobei f lineare Funktion und a ein
> Skalar
> ich muss zeigen:
> h(f+g) = h(f) + h(g)
> h(a*f) = a*h(f)
> und hier hackts...
> 2) Injektivität nachrechnen
> Ich muss zeigen, dass nur die Nullabbildung im Kern liegt,
> h(f) = 0 -> f = 0
> 3) Surjektivität nachrechnen
> reicht es hinzuschreiben h(id) = I (Einheitsmatrix)?
>
> Vielen Dank im Voraus
> Flock
Hallo Flock,
Du schreibst: " Ich würde die Abbildung so definieren: h: Lin(V,W) -> $ [mm] M(\IR^n, \IR^m). [/mm] $
Ja, und dann kommt nix !! Wie hast Du denn h definiert ??? Das steht nirgends !.
Tipp: nimm eine Basis B von V und eine Basis C von W. Abbildungsmatrix
FRED
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