Isomorphie Galoisgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man beweise oder widerlege:
Die Galoisgruppen von [mm] f(x)=x^{5}-1 \in \IQ[x] [/mm] und [mm] g(x)=x^{4}-2 \in \IQ[x] [/mm] sind isomorph. |
Hallo, hab nochmal eine kurze Frage
Habe die Aufgabe bis jetzt folgendermaßen gelöst:
Nullstellen von [mm] f(x)=\{1,\zeta,\zeta^{2},\zeta^{3},\zeta^{4}\}, [/mm] mit [mm] \zeta=exp(\bruch{2\pi*i}{5})
[/mm]
Zerfällungskoerper von f(x) ist [mm] \IQ(\zeta)=E
[/mm]
Galois-Gruppe: [mm] Aut(E;K)=\{ID,\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\}, [/mm] mit [mm] K=\IQ [/mm] und
[mm] \varphi_{1}(\zeta)=\zeta^{2}
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(\zeta)=\zeta^{3}
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(\zeta)=\zeta^{4}
[/mm]
Aut(E;K) [mm] \cong \IZ_{4}, [/mm] da gilt, Aut(E;K) von [mm] \varphi_{1} [/mm] zyklisch erzeugt und abelsch.
Bei g(x) lauten die Nullstellen [mm] =\{\wurzel[4]{2},-\wurzel[4]{2},i\wurzel[4]{2},-i\wurzel[4]{2}\}
[/mm]
Zerfällungskoerper von [mm] g(x)=\IIQ(i,\wurzel[4]{2})=E
[/mm]
Dann habe ich versucht den Körpererweiterungsgrad [mm] [E;\IQ] [/mm] zu berechnen und bin auf 8 gekommen, was mir ein bisschen viel erscheint. Beträgt der Grad evtl 4?
LG
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Hallo,
> Man beweise oder widerlege:
Ich würde diesen Satz der Aufgabenstellung gerne nochmal betonen.
> Die Galoisgruppen von [mm]f(x)=x^{5}-1 \in \IQ[x][/mm] und
> [mm]g(x)=x^{4}-2 \in \IQ[x][/mm] sind isomorph.
> Hallo, hab nochmal eine kurze Frage
>
> Habe die Aufgabe bis jetzt folgendermaßen gelöst:
>
> Nullstellen von
> [mm]f(x)=\{1,\zeta,\zeta^{2},\zeta^{3},\zeta^{4}\},[/mm] mit
> [mm]\zeta=exp(\bruch{2\pi*i}{5})[/mm]
>
> Zerfällungskoerper von f(x) ist [mm]\IQ(\zeta)=E[/mm]
>
> Galois-Gruppe:
> [mm]Aut(E;K)=\{ID,\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\},[/mm] mit
> [mm]K=\IQ[/mm] und
> [mm]\varphi_{1}(\zeta)=\zeta^{2}[/mm]
> [mm]\varphi_{2}(\zeta)=\zeta^{3}[/mm]
> [mm]\varphi_{3}(\zeta)=\zeta^{4}[/mm]
>
> Aut(E;K) [mm]\cong \IZ_{4},[/mm] da gilt, Aut(E;K) von [mm]\varphi_{1}[/mm]
> zyklisch erzeugt und abelsch.
Keine Einwände.
> Bei g(x) lauten die Nullstellen
> [mm]=\{\wurzel[4]{2},-\wurzel[4]{2},i\wurzel[4]{2},-i\wurzel[4]{2}\}[/mm]
>
> Zerfällungskoerper von [mm]g(x)=\IIQ(i,\wurzel[4]{2})=E[/mm]
>
> Dann habe ich versucht den Körpererweiterungsgrad [mm][E;\IQ][/mm]
> zu berechnen und bin auf 8 gekommen, was mir ein bisschen
> viel erscheint.
Wieso erscheint dir das viel? Der Zerf.körper eines Pol. vom Grad 4 kann immerhin Erweiterungskörper bis zu 24 haben.
> Beträgt der Grad evtl 4?
Nein.
>
> LG
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OK,
also sei [mm] g(x)=x^{4}-2 \in \IQ[x]
[/mm]
Nullstellen [mm] =\{\wurzel[4]{2},-\wurzel[4]{2},i\wurzel[4]{2},-i\wurzel[4]{2}\}
[/mm]
Zerfällungskoerper ist [mm] \IQ(\wurzel[4]{2},i)=E
[/mm]
[mm] [E:\IQ]=8
[/mm]
Gesucht [mm] Aut(E;\IQ)
[/mm]
[mm] g_{1}=x^{4}-2 [/mm] und [mm] g_{2}=x^{2}+1 [/mm] irreduzibel über [mm] \IQ [/mm] mit Nullstellen:
[mm] g_{1}=\{\wurzel[4]{2},-\wurzel[4]{2},i\wurzel[4]{2},-i\wurzel[4]{2}\}
[/mm]
[mm] g_{2}=\{i,-i\}
[/mm]
[mm] Aut(\IQ(\wurzel[4]{2},i); \IQ)=\{Id, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5},\varphi_{6},\varphi_{7}\}, [/mm] mit
[mm] \varphi_{1}(\wurzel[4]{2})=\wurzel[4]{2}, \varphi_{1}(i)=-i
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(\wurzel[4]{2})=-\wurzel[4]{2}, \varphi_{2}(i)=i
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(\wurzel[4]{2})=-\wurzel[4]{2}, \varphi_{3}(i)=-i
[/mm]
[mm] \varphi_{4}(\wurzel[4]{2})=i\wurzel[4]{2}, \varphi_{4}(i)=i
[/mm]
[mm] \varphi_{5}(\wurzel[4]{2})=i\wurzel[4]{2}, \varphi_{5}(i)=-i
[/mm]
[mm] \varphi_{6}(\wurzel[4]{2})=-i\wurzel[4]{2}, \varphi_{6}(i)=i
[/mm]
[mm] \varphi_{7}(\wurzel[4]{2})=-i\wurzel[4]{2}, \varphi_{7}(i)=-i
[/mm]
Hat folgende Untergruppen:
[mm] U_{1}=\{ID, \varphi_{1}\} \cong \IZ_{2}
[/mm]
[mm] U_{2}=\{ID, \varphi_{2}\} \cong \IZ_{2}
[/mm]
[mm] U_{3}=\{ID, varphi_{3}\} \cong \IZ_{2}
[/mm]
[mm] U_{4}=\{ID,\varphi_{2},\varphi_{4},\varphi_{6}\} \cong \IZ_{4}
[/mm]
[mm] U_{5}=\{ID,\varphi_{2},\varphi_{5},\varphi_{7}\} \cong \IZ_{4}
[/mm]
[mm] U_{6}=\{ID,\varphi_{2},\varphi_{6}\} \cong D_{2}
[/mm]
[mm] Aut(E;\IQ) \cong \IZ_{2} \times \IZ_{4} [/mm] , also sind die beiden Galoisgruppn nicht isomorph
Wäre das so OK?
LG
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> OK,
>
> also sei [mm]g(x)=x^{4}-2 \in \IQ[x][/mm]
>
> Nullstellen
> [mm]=\{\wurzel[4]{2},-\wurzel[4]{2},i\wurzel[4]{2},-i\wurzel[4]{2}\}[/mm]
>
> Zerfällungskoerper ist [mm]\IQ(\wurzel[4]{2},i)=E[/mm]
>
> [mm][E:\IQ]=8[/mm]
>
> Gesucht [mm]Aut(E;\IQ)[/mm]
>
> [mm]g_{1}=x^{4}-2[/mm] und [mm]g_{2}=x^{2}+1[/mm] irreduzibel über [mm]\IQ[/mm] mit
> Nullstellen:
>
> [mm]g_{1}=\{\wurzel[4]{2},-\wurzel[4]{2},i\wurzel[4]{2},-i\wurzel[4]{2}\}[/mm]
> [mm]g_{2}=\{i,-i\}[/mm]
> [mm]Aut(\IQ(\wurzel[4]{2},i); \IQ)=\{Id, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5},\varphi_{6},\varphi_{7}\},[/mm]
> mit
>
> [mm]\varphi_{1}(\wurzel[4]{2})=\wurzel[4]{2}, \varphi_{1}(i)=-i[/mm]
>
> [mm]\varphi_{2}(\wurzel[4]{2})=-\wurzel[4]{2}, \varphi_{2}(i)=i[/mm]
>
> [mm]\varphi_{3}(\wurzel[4]{2})=-\wurzel[4]{2}, \varphi_{3}(i)=-i[/mm]
>
> [mm]\varphi_{4}(\wurzel[4]{2})=i\wurzel[4]{2}, \varphi_{4}(i)=i[/mm]
>
> [mm]\varphi_{5}(\wurzel[4]{2})=i\wurzel[4]{2}, \varphi_{5}(i)=-i[/mm]
>
> [mm]\varphi_{6}(\wurzel[4]{2})=-i\wurzel[4]{2}, \varphi_{6}(i)=i[/mm]
>
> [mm]\varphi_{7}(\wurzel[4]{2})=-i\wurzel[4]{2}, \varphi_{7}(i)=-i[/mm]
>
> Hat folgende Untergruppen:
> [mm]U_{1}=\{ID, \varphi_{1}\} \cong \IZ_{2}[/mm]
> [mm]U_{2}=\{ID, \varphi_{2}\} \cong \IZ_{2}[/mm]
>
> [mm]U_{3}=\{ID, varphi_{3}\} \cong \IZ_{2}[/mm]
>
> [mm]U_{4}=\{ID,\varphi_{2},\varphi_{4},\varphi_{6}\} \cong \IZ_{4}[/mm]
>
> [mm]U_{5}=\{ID,\varphi_{2},\varphi_{5},\varphi_{7}\} \cong \IZ_{4}[/mm]
>
> [mm]U_{6}=\{ID,\varphi_{2},\varphi_{6}\} \cong D_{2}[/mm]
>
> [mm]Aut(E;\IQ) \cong \IZ_{2} \times \IZ_{4}[/mm]
Die Galoisgruppe ist nicht abelsch, die Isomorphie kann nicht gelten, z.B.
[mm] $\varphi_1 \varphi_4\neq \varphi_4 \varphi_1$
[/mm]
> , also sind die
> beiden Galoisgruppn nicht isomorph
>
> Wäre das so OK?
Ok vom Vorgehen her ja, aber an Umständlichkeit kaum zu überbieten. Es genügt hier bereits, dass die beiden Erweiterungen verschiedene Erweiterungsgrade haben.
> LG
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Di 13.05.2014 | | Autor: | derriemann |
Da hast du natürlich Recht, wollte nur halt die Galoisgruppen genau benennen...
Vielen Dank!
LG
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