Isomorphie Kreuzprodukt < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Di 19.11.2013 | | Autor: | Maxga |
| Aufgabe | Seien [mm] G_1,...,G_r [/mm] Gruppen und [mm] N_1 [/mm] Normalteiler von [mm] G_1 [/mm] , ... , [mm] N_r [/mm] Normalteiler von [mm] G_r. [/mm] Sei G = [mm] G_1 [/mm] x ... x [mm] G_r [/mm] und N = [mm] N_1 [/mm] x ... x [mm] N_r
[/mm]
Zeige: G/N [mm] \cong (G_1 [/mm] / [mm] N_1) [/mm] x ... x [mm] (G_r [/mm] / [mm] N_r) [/mm] |
Moin,
ich dachte mir einfach, ich betrachte den simplen Gruppenhomomorphismus
[mm] \gamma [/mm] : G/N -> [mm] (G_1 [/mm] / [mm] N_1) [/mm] x ... x [mm] (G_r [/mm] / [mm] N_r) [/mm] , [mm] (g_1,...,g_r)*N \mapsto (g_1*N_1,...,g_r*N_r).
[/mm]
Ich bin mir jetzt aber nicht wirklich sicher, ob das Ding injektiv ist!
Also es ist ja
Kern( [mm] \gamma [/mm] ) = [mm] \{gN \in G/N | \gamma (gN) = (N_1,...,N_r) \}
[/mm]
= [mm] \{ (g_1,...,g_r)N \in G/N | g_1 \in N_1 ,..., g_r \in N_r \}
[/mm]
Nun weiß ich nicht, ob das Ding nur das neutrale Element, d.h. (e,...,e)*N, enthält?
Weil im Prinzip gilt ja für [mm] g_1 \in N_1 [/mm] ,..., [mm] g_r \in N_r [/mm] ,dass [mm] (g_1,...,g_r)N [/mm] = N
und das ist somit "nicht noch zusätzlich" in G/N, da das eine Menge ist.
Ich hoffe ihr versteht was ich meine.
Danke euch,
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Di 19.11.2013 | | Autor: | Maxga |
Ok hat sich erledigt, habe die Abbildung jetzt nur von G-> [mm] (G_1 [/mm] / [mm] N_1) [/mm] x ... x [mm] (G_r [/mm] / [mm] N_r) [/mm] definiert mit "analoger" Abbildungsvorschrift,
dann folgt die Aussage direkt mit der universellen Eigenschaft.
Ob die 1. Abbildung injektiv ist würde mich aber trotzdem interessieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Di 19.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok hat sich erledigt, habe die Abbildung jetzt nur von G->
> [mm](G_1[/mm] / [mm]N_1)[/mm] x ... x [mm](G_r[/mm] / [mm]N_r)[/mm] definiert mit "analoger"
> Abbildungsvorschrift,
> dann folgt die Aussage direkt mit der universellen
> Eigenschaft.
Genau :)
> Ob die 1. Abbildung injektiv ist würde mich aber trotzdem
> interessieren.
Meinst du das [mm] $\gamma$ [/mm] aus der Frage? Das ist genau die Abbildung, die von deiner obigen Abbildung induziert wird, und damit ist sie bijektiv.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Maxga |
Ah ok klar:)
Danke dir!
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