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| Aufgabe | Sei $K$ Körper und $f1,..,fr [mm] \in [/mm] K[X1,..,Xn]$, sei weiter $R = [mm] \bruch{K[X1,..,Xn]}{(f1,..,fr)}$ [/mm] und $specM(R)$ das maximale Spektrum von $R$.
Zeigen Sie:
[mm] $\{x \in K^n |f1(x)=..=fr(x)=0\}\cong \{m \in specM(R) | R/m \cong K \}$
[/mm]
durch [mm] $\phi(x1,..,xn) [/mm] = (X1-x1,..,Xn-xn)$ |
Hallo,
ich glaube es es ist mir gelungen, die Wohldefiniertheit der Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] zu zeigen.
Es genügt zu zeigen, dass:
$R/(X1-x1,..,Xn-xn) [mm] \cong [/mm] K$, da dann $(X1-x1,..,Xn-xn)$ auch maximal.
betrachte dazu:
[mm] $\psi: [/mm] K [mm] \rightarrow [/mm] R/(X1-x1,..,Xn-xn)$ durch [mm] $\psi(c)=c$.
[/mm]
Injektivität klar, Surjektivität erhält man, da alle [mm] $\f \in [/mm] R/(X1-x1,..,Xn-xn)$ konstant sind, da ja im Quotienten gerade gilt $X1=x1, .., Xn=xn$ was ja dem Einsetzen entspricht.
Wie aber zeige ich jetzt dass auch [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv und injektiv ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]K[/mm] Körper und [mm]f1,..,fr \in K[X1,..,Xn][/mm], sei weiter [mm]R = \bruch{K[X1,..,Xn]}{(f1,..,fr)}[/mm]
> und [mm]specM(R)[/mm] das maximale Spektrum von [mm]R[/mm].
> Zeigen Sie:
> [mm]\{x \in K^n |f1(x)=..=fr(x)=0\}\cong \{m \in specM(R) | R/m \cong K \}[/mm]
>
> durch [mm]\phi(x1,..,xn) = (X1-x1,..,Xn-xn)[/mm]
> Hallo,
>
> ich glaube es es ist mir gelungen, die Wohldefiniertheit
> der Abbildung [mm]\phi[/mm] zu zeigen.
> Es genügt zu zeigen, dass:
> [mm]R/(X1-x1,..,Xn-xn) \cong K[/mm], da dann [mm](X1-x1,..,Xn-xn)[/mm] auch
> maximal.
>
> betrachte dazu:
> [mm]\psi: K \rightarrow R/(X1-x1,..,Xn-xn)[/mm] durch [mm]\psi(c)=c[/mm].
>
> Injektivität klar, Surjektivität erhält man, da alle [mm]\f \in R/(X1-x1,..,Xn-xn)[/mm]
> konstant sind, da ja im Quotienten gerade gilt [mm]X1=x1, .., Xn=xn[/mm]
> was ja dem Einsetzen entspricht.
Ja, das geht so. Alternativ schau dir [mm] $K[X_1, \dots, X_n] \to [/mm] K$, $f [mm] \mapsto f(x_1, \dots, x_n)$ [/mm] an. Der Kern ist [mm] $(X_1 [/mm] - [mm] x_1, \dots, X_n [/mm] - [mm] x_n)$ [/mm] und die Abbildung ist eindeutig surjektiv.
> Wie aber zeige ich jetzt dass auch [mm]\phi[/mm] surjektiv und
> injektiv ist?
Fuer die Injektivitaet: nimm dir zwei Tupel [mm] $(x_1, \dots, x_n), (y_1, \dots, y_n)$. [/mm] Angenommen es gibt ein $i$ mit [mm] $x_i \neq y_i$. [/mm] Ist dann [mm] $Y_i [/mm] - [mm] y_i$ [/mm] in [mm] $(X_1 [/mm] - [mm] x_1, \dots, X_n [/mm] - [mm] x_n)$ [/mm] enthalten?
Fuer die Surjektivitaet: sei $m [mm] \in [/mm] specM(R)$. Betrachte $K [mm] \to K[X_1, \dots, X_n] \to [/mm] R [mm] \to [/mm] R/m$; dies ist offenbar ein Isomorphismus. Betrachte nun die Restklassen von [mm] $X_1, \dots, X_n$ [/mm] in $R/m$ und nenne sie [mm] $\hat{a}_1, \dots, \hat{a}_n$; [/mm] weiterhin waehle [mm] $a_i \in [/mm] K$, welche ueber den grade genannten Isomorphismus $K [mm] \cong [/mm] R/m$ auf [mm] $\hat{a}_i$ [/mm] abgebildet werden. Zeige, dass $m = [mm] (X_1 [/mm] - [mm] a_1, \dots, X_n [/mm] - [mm] a_n)$ [/mm] ist.
LG Felix
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