Isomorphie von Faktorringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Sa 18.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins und I, J [mm] \vartriangleleft [/mm] R seien Ideale, so dass es ein i [mm] \in [/mm] I und ein j [mm] \in [/mm] J gibt mit i + j = 1.
Zeigen Sie, dass die beiden Ringe R/(I [mm] \cap [/mm] J) und (R/I) [mm] \times [/mm] (R/J) isomorph sind. |
Hallo,
Also um ehrlich zu sein, hab ich ganz starke Schwierigkeiten mir das überhaupt erst mal vorzustellen. Könnte irgendjemand bitte erst mir mal sagen, wie man sich R/(I [mm] \cap [/mm] J) [mm] \cong [/mm] (R/I) [mm] \times [/mm] (R/J) generell vorstellt.
Der Ansatz für die Aufgabe müsste jedenfalls der Homomorphiesatz für Ringe sein, wobei (I [mm] \cap [/mm] J) ja Kern eines Ringhomomorphismus sein müsste und (R/I) [mm] \times [/mm] (R/J) das Bild dessen, aber so richtig komm ich einfach leider auf nix.
Ich hoffe jemand von euch, könnte mir eventuell einen Denkanstoß geben.
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Sa 18.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins und I, J
> [mm]\vartriangleleft[/mm] R seien Ideale, so dass es ein i [mm]\in[/mm] I und
> ein j [mm]\in[/mm] J gibt mit i + j = 1.
> Zeigen Sie, dass die beiden Ringe R/(I [mm]\cap[/mm] J) und (R/I)
> [mm]\times[/mm] (R/J) isomorph sind.
>
> Also um ehrlich zu sein, hab ich ganz starke
> Schwierigkeiten mir das überhaupt erst mal vorzustellen.
> Könnte irgendjemand bitte erst mir mal sagen, wie man sich
> R/(I [mm]\cap[/mm] J) [mm]\cong[/mm] (R/I) [mm]\times[/mm] (R/J) generell vorstellt.
Restklassenringe halt?
> Der Ansatz für die Aufgabe müsste jedenfalls der
> Homomorphiesatz für Ringe sein, wobei (I [mm]\cap[/mm] J) ja Kern
> eines Ringhomomorphismus sein müsste und (R/I) [mm]\times[/mm]
> (R/J) das Bild dessen, aber so richtig komm ich einfach
> leider auf nix.
Genau. Nun, den Ringhomomorphismus kannst du schonmal hinschreiben, oder?
Du musst jetzt zeigen:
1) [mm] $\ker \phi [/mm] = I [mm] \cap [/mm] J$ (das ist einfach)
2) [mm] $\phi$ [/mm] ist surjektiv (dafuer brauchst du die Bedingung mit $i + j = 1$)
Bedenke: gilt $i + j = 1$, so ist $i + J = 1 + J$m $i + I = 0 + I$ und $j + I = 1 + I$, $j + J = 0 + J$. Das liefert ziemlich direkt 2).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 18.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hab leider schon Probleme mir einen solchen Ringhomomorphismus zu konstruieren. Also es muss ja gelten: [mm] Ker(\phi) [/mm] = I [mm] \cap [/mm] J, und [mm] Im(\phi) [/mm] = (R/I) x (R/J). Ist dann die Abbildung [mm] \phi: [/mm] R [mm] \to [/mm] (R/I) x (R/J)?
Des weiteren versteh ich nicht, wieso [mm] \phi [/mm] surjektiv sein muss, der Homomorphiesatz sagt ja nur:
Sei [mm] \phi: [/mm] R [mm] \to [/mm] S ein Ringhomomorphismus, dann ist die Abbildung [mm] \alpha: R/Ker(\phi) \to Im(\phi) [/mm] mit [mm] \overline{x} \mapsto \phi(x) [/mm] ein Ringisomorphismus, wobei hier für [mm] \phi [/mm] doch gar nicht vorausgesetzt ist, dass es ein Ringepimorphismus sein muss?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:01 So 19.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hab leider schon Probleme mir einen solchen
> Ringhomomorphismus zu konstruieren. Also es muss ja gelten:
> [mm]Ker(\phi)[/mm] = I [mm]\cap[/mm] J, und [mm]Im(\phi)[/mm] = (R/I) x (R/J). Ist
> dann die Abbildung [mm]\phi:[/mm] R [mm]\to[/mm] (R/I) x (R/J)?
Ja, die Abbildung geht von $R$ nach $(R/I) [mm] \times [/mm] (R/J)$. Aber wie sieht sie aus?
> Des weiteren versteh ich nicht, wieso [mm]\phi[/mm] surjektiv sein
> muss, der Homomorphiesatz sagt ja nur:
> Sei [mm]\phi:[/mm] R [mm]\to[/mm] S ein Ringhomomorphismus, dann ist die
> Abbildung [mm]\alpha: R/Ker(\phi) \to Im(\phi)[/mm] mit [mm]\overline{x} \mapsto \phi(x)[/mm]
> ein Ringisomorphismus, wobei hier für [mm]\phi[/mm] doch gar nicht
> vorausgesetzt ist, dass es ein Ringepimorphismus sein
> muss?
Nun, du musst zeigen, dass sie surjektiv ist. Das steht uebrigens so wortwoertlich in meiner Antwort drinnen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 So 19.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich verstehs leider noch immer nicht: [mm] \alpha [/mm] muss doch surjektiv sein und nicht [mm] \phi [/mm] , denn [mm] \phi [/mm] ist ja nur ein ganz gewöhnlicher Ringhomomorphismus und nicht zwangsweise ein Ringepimorphismus? Eine richtige Begründung, dass [mm] \phi [/mm] surjektiv sein muss, seh ich deinerseits leider nicht.
Der Ringhomomorphismus [mm] \phi: [/mm] R [mm] \to [/mm] (R/I) x (R/J) ist möglicherweise x [mm] \mapsto (\overline{x},\overline{x})?
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich verstehs leider noch immer nicht: [mm]\alpha[/mm] muss doch
> surjektiv sein und nicht [mm]\phi[/mm] , denn [mm]\phi[/mm] ist ja nur ein
> ganz gewöhnlicher Ringhomomorphismus und nicht zwangsweise
> ein Ringepimorphismus? Eine richtige Begründung, dass [mm]\phi[/mm]
> surjektiv sein muss, seh ich deinerseits leider nicht.
Der Homomorphiesatz gilt natürlich immer, also auch für nicht-surjektives [mm] $\phi$. [/mm] Aber in diesem Fall konstruierst du ja einen Hom. von R auf [mm] $R/I\times [/mm] R/J=:S$. Mit dem Homomorphiesatz folgt [mm] $R/\operatorname{ker}\phi\cong\operatorname{im}\phi$, [/mm] aber damit auch tatsächlich [mm] $\operatorname{im}\phi=S [/mm] $, muss [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv sein.
> Der Ringhomomorphismus [mm]\phi:[/mm] R [mm]\to[/mm] (R/I) x (R/J) ist
> möglicherweise x [mm]\mapsto (\overline{x},\overline{x})?[/mm]
Du meinst wahrscheinlihc [mm] $x\mapsto([x]_I,[x]_J)$, [/mm] zumindest haben wir das in Algebra damals so geschrieben. Ich denke das sieht gut aus.
Gruß, Robert
|
|
|
|
