Isomorphie von Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Sa 21.11.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle Gruppen
a) der Ordnung 46
b) der Ordnung 833
c) der Ordnung 891. |
Hallo,
ich soll die obige Aufgabe lösen, aber bin mir bei meiner Lösung unsicher und verstehe auch etwas nicht so richtig.
zu a): es gilt 46 = 2*23, 2 und 23 sind prim. Nach VL muss man sich zu jeder Primzahlpotenz die Partition ansehen und mithilfe dieser Partitionen findet man dann die isomorphen Gruppen.
Da es gilt [mm] 2^{1} [/mm] * [mm] 23^{1} [/mm] = 46 gibt es jeweils nur die Partition 1=1 und somit gibt es nur eine abelsche Gruppe mit der Ordnung 46 und zwar [mm] \IZ_{2} [/mm] x [mm] \IZ_{23}. [/mm]
Nach VL gibt es auch noch folgende nicht-abelsche Gruppe der Ordnung 46: [mm] D_{2*23} [/mm] = [mm] D_{46}, [/mm] da die Ordnung 46 = 2*23 ist.
Woher weiß ich ob es wirklich nur diese 2 Gruppen gibt?
zu b): 833 = 7*119 [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt die Gruppe [mm] \IZ_{7} [/mm] x [mm] \IZ_{119}. [/mm] Da 833 [mm] \not= [/mm] 2*p, gibt es keine Gruppe [mm] D_{2*p}, [/mm] also keine nicht-abelsche Gruppe.
Auch hier bin ich mir unsicher ob dies wirklich alle Gruppen sind.
zu c): 891 = [mm] 3^{4} [/mm] * 11. Die Partitionen von 4 sind: 4=4, 4=3+1 4=2+2, 4=2+1+1, 4=1+1+1+1 [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt folgende Gruppen:
[mm] \IZ_{3^{4}} [/mm] x [mm] \IZ_{11}, [/mm]
[mm] \IZ_{3^{3}} [/mm] x [mm] \IZ_{3^{1}} [/mm] x [mm] \IZ_{11}, [/mm]
[mm] \IZ_{3^{2}} [/mm] x [mm] \IZ_{3^{2}} [/mm] x [mm] \IZ_{11}, [/mm]
[mm] \IZ_{3^{2}} [/mm] x [mm] \IZ_{3^{1}} [/mm] x [mm] \IZ_{3^{1}} [/mm] x [mm] \IZ_{11}, [/mm]
[mm] \IZ_{3^{1}} [/mm] x [mm] \IZ_{3^{1}} [/mm] x [mm] \IZ_{3^{1}} [/mm] x [mm] \IZ_{3^{1}} [/mm] x [mm] \IZ_{11}. [/mm]
Nach dem Satz gibt es auch in diesem Fall keine [mm] D_{2*p} [/mm] Gruppe.
Bei c) bin ich mir auch wieder unsicher, ob das alle Gruppen sind, die infrage kommen.
Ich würde mich freuen wenn jemand mir erklären kann ob das alle Gruppen sind oder nicht, und warum.
LG, MinLi
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle Gruppen
> a) der Ordnung 46
> b) der Ordnung 833
> c) der Ordnung 891.
> Hallo,
>
> ich soll die obige Aufgabe lösen, aber bin mir bei meiner
> Lösung unsicher und verstehe auch etwas nicht so richtig.
>
> zu a): es gilt 46 = 2*23, 2 und 23 sind prim. Nach VL muss
> man sich zu jeder Primzahlpotenz die Partition ansehen und
> mithilfe dieser Partitionen findet man dann die isomorphen
> Gruppen.
> Da es gilt [mm]2^{1}[/mm] * [mm]23^{1}[/mm] = 46 gibt es jeweils nur die
> Partition 1=1 und somit gibt es nur eine abelsche Gruppe
> mit der Ordnung 46 und zwar [mm]\IZ_{2}[/mm] x [mm]\IZ_{23}.[/mm]
> Nach VL gibt es auch noch folgende nicht-abelsche Gruppe
> der Ordnung 46: [mm]D_{2*23}[/mm] = [mm]D_{46},[/mm] da die Ordnung 46 = 2*23
> ist.
>
> Woher weiß ich ob es wirklich nur diese 2 Gruppen gibt?
Nach dem Satz von Cauchy gibt es eine Untergruppe der Ordnung 23, also vom Index 2, diese ist dann automatisch ein Normalteiler. Daher handelt es sich um ein semidirektes Produkt [mm] $\IZ/23\rtimes \IZ/2$. [/mm] Es gilt also nur, alle Operationen der [mm] $\IZ/2$ [/mm] auf die [mm] $\IZ/23$ [/mm] zu bestimmen.
> zu b): 833 = 7*119 [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt die Gruppe [mm]\IZ_{7}[/mm] x
> [mm]\IZ_{119}.[/mm] Da 833 [mm]\not=[/mm] 2*p, gibt es keine Gruppe [mm]D_{2*p},[/mm]
> also keine nicht-abelsche Gruppe.
>
> Auch hier bin ich mir unsicher ob dies wirklich alle
> Gruppen sind.
Es könnte Haufenweise nichtabelsche Gruppen geben, es ist ja nicht so, dass es nur Diedergruppen sind. Du kannst aber analog zur a) vorgehen, um zu sehen, dass es keine gibt. Es gibt also nur eine einzige Gruppe der Ordnung 833.
> zu c): 891 = [mm]3^{4}[/mm] * 11. Die Partitionen von 4 sind: 4=4,
> 4=3+1 4=2+2, 4=2+1+1, 4=1+1+1+1 [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt
> folgende Gruppen:
> [mm]\IZ_{3^{4}}[/mm] x [mm]\IZ_{11},[/mm]
> [mm]\IZ_{3^{3}}[/mm] x [mm]\IZ_{3^{1}}[/mm] x [mm]\IZ_{11},[/mm]
> [mm]\IZ_{3^{2}}[/mm] x [mm]\IZ_{3^{2}}[/mm] x [mm]\IZ_{11},[/mm]
> [mm]\IZ_{3^{2}}[/mm] x [mm]\IZ_{3^{1}}[/mm] x [mm]\IZ_{3^{1}}[/mm] x [mm]\IZ_{11},[/mm]
> [mm]\IZ_{3^{1}}[/mm] x [mm]\IZ_{3^{1}}[/mm] x [mm]\IZ_{3^{1}}[/mm] x [mm]\IZ_{3^{1}}[/mm] x
> [mm]\IZ_{11}.[/mm]
> Nach dem Satz gibt es auch in diesem Fall keine [mm]D_{2*p}[/mm]
> Gruppe.
Die abelschen Gruppen sind ja eh langweilig. Verwende die Sylowsätze, um Aussagen über die Struktur der Gruppe zu gewinnen. Es wäre praktisch, wenn du schon einen Satz über die Gruppen der Ordnung [mm] $3^4$ [/mm] hättest, denn ansonsten dürfte diese Aufgabe sehr sehr lang gehen.
> Bei c) bin ich mir auch wieder unsicher, ob das alle
> Gruppen sind, die infrage kommen.
>
> Ich würde mich freuen wenn jemand mir erklären kann ob
> das alle Gruppen sind oder nicht, und warum.
>
> LG, MinLi
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:06 So 22.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Hallo,
Ist bei a) die UG der Ordnung 23 vom Index 2 wegen Lagrange?
Ich verstehe auch nicht wieso es reicht, alle Operationen der [mm] \IZ/2 [/mm] auf [mm] \IZ/23 [/mm] zu bestimmen, wir haben in der Vorlesung noch nie ein semi-direktes Produkt erwähnt.
zu c): wir haben in der Vorlesung den Satz, dass man sich zu jedem p das G teilt alle Partitionen seiner Potenzen ansieht. Damit findet man dann die zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung zu denen G isomorph ist.
Und wir haben das Lemma, dass wenn G eine endliche, abelsche Gruppe ist, und die Ordnung aus Primzahlen mit verschiedenen Potenzen besteht, dass G dann isomorph zum Produkt aller nicht-trivialen p-Sylowgruppen von G ist.
Und wenn G endlich erzeugt und abelsch ist, dann gibt es r [mm] \in \IN [/mm] und eine endliche, abelsche Gruppe T, s.d. G [mm] \cong \IZ^{r} [/mm] x T, r=rang von G.
Den ersten Satz habe ich schon bei c) angewendet. So komme ich auf die ganzen abelschen Gruppen. Der Lemma ist da auch schon drin. Kann der dritte Satz noch weiterhelfen? Ich verstehe bei dem Satz nicht, was das T eigentlich konkret sein soll.
LG, MinLi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 28.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Di 24.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Ich habe gerade eine Email von meinem Tutor gekriegt, dass die c) zu kompliziert ist und dass sie die Zahl auf 1001 geändert haben. Ich setzte mich da heute Abend noch ran.
LG, MinLi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Di 24.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Dies gilt natürlich für die andere Aufgabe, habe den falschen Artikel ausgewählt.
|
|
|
|
