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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Di 17.05.2016 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Sei $R$ HIR, $M$ $R$-Modul, [mm] $x\in M_{tor}$ [/mm] und $a$ eine Periode von $x$, sowie [mm] $p\in [/mm] R$ prim. Zeigen Sie:
1. [mm] $Rx\cong [/mm] R/(a)$
2. [mm] $p\mid [/mm] a [mm] \Rightarrow R/(p)\cong [/mm] Rx/pRx$
3. [mm] $p\nmid a\Rightarrow [/mm] pRx=Rx$. |
Guten Tag zusammen,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und könnte ein wenig Start-Hilfe gebrauchen.
1. habe ich denke ich schon gezeigt:
Es ist die Periode $a$ von $x$ definiert als der Erzeuger des Hauptideals [mm] $I_x:=\ker(\varphi_x)$, [/mm] der Kern der Homomorphismus
[mm] $$\varphi_x:R\to Rx,\,r\to [/mm] rx.$$
Es ist also [mm] $(a)=\ker(\varphi_x)$ [/mm] und damit gilt mit dem Homomorphiesatz bereits [mm] $R/(a)=R/\ker(\varphi_x)\cong [/mm] Rx$.
Für die zweite Aufgabe dachte ich mir, dass ich einen ähnlichen Homomorphismus konstruiere. Dieser sähe dann so aus:
[mm] $$\varphi_x: R\to Rx/pRx,\,r\to [/mm] rx+pRx.$$
Wenn ich nun zeigen könnte, dass [mm] $\ker(\varphi_x)=(p)$ [/mm] ist, dann wäre ich wieder fertig.
Es gilt doch:
[mm] $$r\in\ker(\varphi_x)\Leftrightarrow rx\in pRx\Leftrightarrow r\in\{ps\mid s\in R\}=(p).$$
[/mm]
Aber hier hätte ich nirgends [mm] $p\mid [/mm] a$ verwendet, deshalb muss ja irgendwo ein Denkfehler sein.
Dementsprechend habe ich dann auch Probleme bei der 3. Teilaufgabe.
Natürlich ist klar, dass wegen [mm] $pr\in [/mm] R$ für alle [mm] $r\in [/mm] R$ bereits [mm] $pRx\subseteq [/mm] Rx$ gilt, aber die andere Richtung kann ich derzeit nicht nachvollziehen.
Ich würde mich sehr über etwas Hilfe freuen.
Vielen Dank und viele Grüße
DerBaum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Di 17.05.2016 | | Autor: | DerBaum |
Während ich die Frage eingestellt habe, fiel mir etwas auf, was ich nicht berücksichtigt habe und zwar [mm] $x\in M_{tor}$. [/mm] Das heißt ja es gilt für gewisse(s) [mm] $r\in [/mm] R$ bereits $rx=0$ und damit liegen außer $(p)$ noch diese $r$ im kern vom (zweiten) [mm] $\varphi_x$.
[/mm]
Der kern des ersten Homomorphismus liegt also ebenfalls im kern des zweiten. Dafür benenne ich den zweiten Homomorphismus nun um und schreibe:
[mm]\pi_x: R\to Rx/pRx,\,r\to rx+pRx.[/mm]
Dann gilt für den kern [mm] ($\varphi_x$ [/mm] wie aus 1.): [mm] $\ker(\pi_x)=(p)\cup\ker(\varphi_x)=(p)\cup(a)$.
[/mm]
Da nun [mm] $p\mid [/mm] a$, gilt [mm] $(a)\subseteq [/mm] (p)$ und damit [mm] $(a)\cup(p)=(p).$
[/mm]
Mit dem Homomorphiesatz folgt dann wieder der Rest.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 17.05.2016 | | Autor: | hippias |
Mein Tip für 2. und 3. sieht so aus: (mit Deinen Bezeichnungen) [mm] $r\in \ker\phi_{x}\iff rx\in pRx\iff \exists r'\in R\: [/mm] rx= [mm] pr'x\iff \exists r'\in R\: [/mm] (r-pr')x=0$.
Nun beachte, dass Du zwei Homomorphismen hast: einmal Dein [mm] $\phi_{x}:R\to [/mm] Rx/pRx$, den Du besser anders benannt hättest, und den Homomorphismus [mm] $\psi_{x}:R\to [/mm] Rx$ mit [mm] $\ker\psi_{x}= [/mm] (a)$.
Damit kann ich sagen, dass [mm] $r\in ker\phi_{x}\iff r\in pR+\ker\psi_{x}= [/mm] pR+ (a)$.
Damit lässt sich weiterarbeiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Mi 18.05.2016 | | Autor: | DerBaum |
Vielen Dank für deine Antwort!
Die 2. Teilaufgabe konnte ich nun mit deinem Hinweis gut lösen.
Wie ich die Teilaufgabe 3 angehen soll weiß ich dennoch nicht genau.
Hat hier vielleicht jemand noch einen kleinen Hinweis?
Die Gleichheit müsste doch eigentlich bedeuten, dass für jedes [mm] $r\in [/mm] R$ bereits [mm] $p\mid [/mm] r$ gelten muss?
Vielen Dank
DerBaum
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Also, wir wollen zeigen, dass die Multiplikation [mm] $\cdot p:R/(a)\longrightarrow [/mm] R/(a)$ surjektiv ist. Tipp: Es genügt, wenn die 1 getroffen wird + Lemma von Bezout.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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