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| Aufgabe | | Wieviele Isomorphieklassen von abelschen Gruppen der Ordnung 64 gibt es? |
Hallo an alle!
also die abelsche Gruppe der Ordnung 64 ist isomorph zu
1) [mm] \IZ/64\IZ
[/mm]
2) [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ
[/mm]
gut das ist soweit bekannt;
Wie bekomm ich aber jetzt daraus die Isomorphieklassen? muss ich die jetzt alle ausrechnen?
fg
Chrissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Chrissi!
> Wieviele Isomorphieklassen von abelschen Gruppen der
> Ordnung 64 gibt es?
> Hallo an alle!
>
> also die abelsche Gruppe der Ordnung 64 ist isomorph zu
> 1) [mm]\IZ/64\IZ[/mm]
> 2) [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x
> [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
>
> gut das ist soweit bekannt;
Da fehlt aber ein Haufen!
> Wie bekomm ich aber jetzt daraus die Isomorphieklassen?
> muss ich die jetzt alle ausrechnen?
Nun, der Hauptsatz sagt dir ja: jede abelsche Gruppe der Ordnung 64 ist genau zu einer der folgenden Gruppen isomorph: <Liste>
Diese Liste entspricht dann der Menge der Isomorphieklassen.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für die Antwort
Und all die Listen sind dann die Isomorphieklassen?
Ich hab iwo gelesen, dass es 15 gibt, geht das nich auch einfacher?
fg
chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Chrissi!
> Und all die Listen sind dann die Isomorphieklassen?
Jedes Element der Liste entspricht einer Isomorphieklasse: eine abelsche Gruppe der Ordnung 64 ist zu genau einer der aufgelisteten Gruppen isomorph.
> Ich hab iwo gelesen, dass es 15 gibt, geht das nich auch
> einfacher?
Sagt dir "Partitionszahl" etwas?
LG Felix
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> Sagt dir "Partitionszahl" etwas?
also ehrlich gesagt sagt mir das nix;
fg
chrissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:53 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo chrissi!
> > Sagt dir "Partitionszahl" etwas?
>
> also ehrlich gesagt sagt mir das nix;
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) das hier an.
Wenn du $n = [mm] p^k$ [/mm] hast mit einer Primzahl $k$, dann gehoert zu jedem Isomorphietyp einer endlichen abelschen Gruppe mit $n$ Elementen genau eine Partition von $k$.
Die Anzahl der Isomorphietypen ist also gleich der Partitionszahl von $k$.
In deinem Fall ist $p = 2$ und $k = 6$ (da [mm] $2^6 [/mm] = 64$): die gesuchte Zahl ist also $part(6) = 11$ (und nicht 15!).
Mal ein Beispiel: aus der Partition $(1, 1, 1, 3)$ bekommst du die Gruppe [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/8\IZ$ [/mm] (da $2 = [mm] 2^1$ [/mm] und $8 = [mm] 2^3$).
[/mm]
Schau dir doch mal eure Vorlesung an und versuch das mit der in Einklang zu bringen.
LG Felix
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