Isomorphietyp < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Sa 17.11.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | | Man bestimme den Isomorphietyp der Gruppe [mm] (\IZ/\24\IZ)^{ * }. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe Probleme bei der obigen Aufgabe, und zwar liegt dies daran, dass wir den Begriff "Isomorphietyp" in der Vorlesung gar nicht behandelt haben und Wikipedia und Google spucken auch kaum etwas dazu aus. Außerdem ist mir noch nicht ganz klar, was der * hinter der Gruppe soll.
Wäre super, wenn mir kurz jemand Antwort auf die Fragen geben könnte.
Gruß Michi
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> Man bestimme den Isomorphietyp der Gruppe [mm](\IZ/\24\IZ)^{ * }.[/mm]
Hallo,
man kann von der zu bearbeitenden Menge wesentliche Teile nicht lesen.
Es ist wohl [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 24\IZ)^{\*} [/mm] gemeint.
Damit ist die Menge der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente v. [mm] \IZ [/mm] / [mm] 24\IZ [/mm] gemeint.
Isomorphietyp: ich nehme an, daß Du sagen sollst, zu welcher einschlägigen Gruppe entsprechender Ordnung sie Isomorph ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 17.11.2007 | | Autor: | MichiNes |
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> man kann von der zu bearbeitenden Menge wesentliche Teile
> nicht lesen.
>
> Es ist wohl [mm](\IZ[/mm] / [mm]24\IZ)^{\*}[/mm] gemeint.
Ja genau die ist gemeint. Sorry, habe den Fehler jetzt erst bemerkt. Hatte auch Probleme den Stern einzufügen.
>
> Isomorphietyp: ich nehme an, daß Du sagen sollst, zu
> welcher einschlägigen Gruppe entsprechender Ordnung sie
> Isomorph ist.
Ja das kann gut sein. Aber wie finde ich diese Gruppe? Wir hatten irgendwann einmal, dass [mm] \IZ_{m} [/mm] x [mm] \IZ_{n} [/mm] isomorph ist zu [mm] \IZ_{d}, [/mm] falls m*n=d und m, n teilerfremd. Hat das damit was zu tun??
Danke schon mal!
Gruß Michi
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> >
> > man kann von der zu bearbeitenden Menge wesentliche Teile
> > nicht lesen.
> >
> > Es ist wohl [mm](\IZ[/mm] / [mm]24\IZ)^{\*}[/mm] gemeint.
>
> Ja genau die ist gemeint. Sorry, habe den Fehler jetzt erst
> bemerkt. Hatte auch Probleme den Stern einzufügen.
> >
> > Isomorphietyp: ich nehme an, daß Du sagen sollst, zu
> > welcher einschlägigen Gruppe entsprechender Ordnung sie
> > Isomorph ist.
>
> Ja das kann gut sein. Aber wie finde ich diese Gruppe? Wir
> hatten irgendwann einmal, dass [mm]\IZ_{m}[/mm] x [mm]\IZ_{n}[/mm] isomorph
> ist zu [mm]\IZ_{d},[/mm] falls m*n=d und m, n teilerfremd. Hat das
> damit was zu tun??
Darüber kannst Du doch später nachdenken.
Du mußt zunächst einmal herausfinden, wieviele Elemente die Gruppe hat.
Danach würde ich versuchen, ihren Eigenschaften auf die Spur zu kommen und sie mit Euch bereits bekannten Gruppen zu vergleichen und den Isomorphismus angeben.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest Du die kleinen Gruppen aufgelistet, das hilft dann sicher.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 17.11.2007 | | Autor: | MichiNes |
was noch nicht geklärt ist: was bedeutet der Stern, der in der Gruppenbezeichnung am Ende steht?
Und wie finde ich heraus, wieviele Elemente die Gruppe hat? ich dachte 24 Stück???
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> was noch nicht geklärt ist: was bedeutet der Stern, der in
> der Gruppenbezeichnung am Ende steht?
Hab' ich doch längst gesagt:
>>>> Damit ist die Menge der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente v. $ [mm] \IZ [/mm] $ / $ [mm] 24\IZ [/mm] $ gemeint.
Die Einheitengruppe v. [mm] \IZ [/mm] $ / $ [mm] 24\IZ.
[/mm]
> Und wie finde ich heraus, wieviele Elemente die Gruppe
> hat? ich dachte 24 Stück???
Indem Du feststellst, welche invertierbar sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 18.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Angela!
Wir haben jetzt einmal die Elemete der Gruppe aufgeschrieben, die invertierbar sind. Das sind: 1,2,3,4,6,8,12
Die 24 gehört nicht mehr dazu, das ist ja dann wieder die 1, oder?
Das heißt die Gruppe [mm] (\IZ/24\IZ) [/mm] * ist {1,2,3,4,6,8,12}. Stimmt das so?
Diese Gruppe hat 7 Elemente. Wie kann ich denn dann hier den Isomorphietyp bestimmen bzw. gibt es überhaupt einen, weil 7 ja eine Primzahl ist!???
LG Leni
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> Wir haben jetzt einmal die Elemete der Gruppe
> aufgeschrieben, die invertierbar sind.
Hallo,
schön wär's ...
> Das sind:
> 1,2,3,4,6,8,12
>
> Die 24 gehört nicht mehr dazu, das ist ja dann wieder die
> 1, oder?
Leute!!! Die 24 ist die Null!!!! Sie läßt doch bei Division durch 24 den Rest 0...
Vielleicht solltet Ihr Euch unter Berücksichtigung dieser neuen Erkenntnis mal eine Multiplikationstabelle anfertigen.
> Diese Gruppe hat 7 Elemente. Wie kann ich denn dann hier
> den Isomorphietyp bestimmen bzw. gibt es überhaupt einen,
> weil 7 ja eine Primzahl ist!???
WENN diese Grußße 7 Elemente hätte, wäre es besonders einfach, ihren Typ zu bestimmen, weil es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe dieser Ordnung gibt: die zyklische.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 So 18.11.2007 | | Autor: | MichiNes |
Also ich hab jetzt mal alle (hoffentlich) Elemente aufgeschrieben, die ein multiplikatives Inverses haben, also dann wieder die 1 ergeben.
Das sind, falls ich nix vergessen hab:
{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} . Auffällig dass das alles Primzahlen sind, aber die 3 fehlt (???) Hier wären alle Elemente zu sich selbst invers.
Hab ich mich da verrechnet??
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> Also ich hab jetzt mal alle (hoffentlich) Elemente
> aufgeschrieben, die ein multiplikatives Inverses haben,
> also dann wieder die 1 ergeben.
> Das sind, falls ich nix vergessen hab:
>
> {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} . Auffällig dass das alles
> Primzahlen sind, aber die 3 fehlt (???) Hier wären alle
> Elemente zu sich selbst invers.
> Hab ich mich da verrechnet??
Hallo,
nein, so ist alles in bester Ordnung, auch, daß die 3 fehlt.
Findet Ihr heraus, was die 3 von den anderen Zahlen in Eurer menge unterscheidet - der Unterschied hat natürlich etwas mit der 24 zu tun...
> Hier wären alle
> Elemente zu sich selbst invers.
Ja.
Ihr habt nun also eine Gruppe, welche 8 Elemente enthält, die alle die Ordnung 2 haben.
Nun müßt Ihr nur noch herausfinden, welche der gruppen der Ordnung 8 das ist.
Gruß v. Angela
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