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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 11.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Es seien V und W zwei isomorphe K-Vektorräume. D.h. es existiert ein Vektorraumisomorphismus [mm] \mu: [/mm] V-> W. Weiterhin sei B [mm] \subset [/mm] V eine Basis von V.
Zeigen Sie, dass dann [mm] \mu(B):={ \mu (v) |v \in B } [/mm] eine Basis von W ist.
P.s.: [mm] \mu [/mm] (v) |v [mm] \in [/mm] B sollte eigentlich in {} stehen, aber man sieht die Klammern irgendwie nicht. |
Hallo,
ich weiß, dass ich als erstes mal ein Ansatz schreiben sollte, aber ich habe diesmal überhaup keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe ran gehen soll. Kann mir jemand einen Anstoß geben?
Danke im voraus.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Du mußt 2 Dinge zeigen:
1. [mm] \mu(B) [/mm] ist linear unabhängig.
2. [mm] \mu(B) [/mm] ist ein Erzeugendensystem für W.
Zu 1.
Sind [mm] w_1, [/mm] ..., [mm] w_n \in \mu(B) [/mm] und [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_n \in [/mm] K und gilt $0= [mm] t_1*w_1+...+t_nw_n$, [/mm] so zeige: [mm] t_1= ...=t_n=0
[/mm]
Dazu verschaffe Dir [mm] v_1, ...,v_n \in [/mm] B mit [mm] \mu(v_j)=w_j [/mm] , nutze die Linearität und die Injektivität von [mm] \mu.
[/mm]
Zu 2.
Ist w [mm] \in [/mm] W, so mußt Du zeigen: es ex. [mm] w_1, ...,w_m \in \mu(B) [/mm] und [mm] s_1, [/mm] ..., [mm] s_m \in [/mm] K mit
[mm] w=s_1w_1+...+s_mw_m
[/mm]
Wegen der Surjektivität von [mm] \mu [/mm] gibt es ein v [mm] \iV [/mm] mit [mm] \mu(v)=w.
[/mm]
Nun verwende, dass B eine Basis von V ist und die Linearität von [mm] \mu
[/mm]
FRED
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Hallo melisa1,
nach über 1 Jahr Mitgliedschaft sollte dir aufgefallen sein, dass wir sogar einen Formeleditor haben.
Dort kannst du sehen, wie die meisten mathemat. Symbole eingegeben werden, auch Mengenklammern.
Die musst du mit vorangehendem Backslash schreiben!
Klammer auf: \{
Klammer zu: \}
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Di 11.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Danke für den Hinweis!
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