Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 So 17.01.2010 | | Autor: | Plapper |
| Aufgabe | 1) [mm] \IC \cong \IR[G]
[/mm]
2) R[X]/<f> [mm] \cong \IR[\IZ/3\IZ] [/mm] |
Hallo...
Die Frage ist, ob diese Isomorphien stimmen?
[mm] \IR[G] [/mm] ist die Gruppenalgebra über [mm] \IR [/mm] und <f> sind Polynome...
Mehr hab ich zur Aufgabenstellung leider nicht.
Leider habe ich bei diesen Isomorphiesachen nie den geringsten Ansatz, weil ich mir das so schwer vorstellen kann...
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Ich weiß schon, was man bei einem Isomorphismus nachweisen muss. Mir fehlt nur die dazugehörige Abbildung.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen internetseiten gestellt.
Lg
Plapper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mo 18.01.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> 1) [mm]\IC \cong \IR[G][/mm]
> 2) R[X]/<f> [mm]\cong \IR[\IZ/3\IZ][/mm]
> Die Frage ist, ob diese Isomorphien stimmen?
Bei 1) ist unklar, was G ist. Es gibt viele Gruppenalgebren über [mm] \IR.
[/mm]
Bei 2) ist unklar, was [mm] \IR[\IZ/3\IZ] [/mm] sein soll. Auch eine Gruppenalgebra? Und was ist f?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
G ist eine Gruppe. Mehr Angaben dazu hat der Prof nicht gemacht. Vielleicht möchte er ja wissen, für welche Gruppe diese Isomorphie gelten kann!?
[mm] \IR[\IZ/3\IZ] [/mm] ist auch eine Gruppenalgebra über [mm] \IR, [/mm] die die Gruppe [mm] \IZ/3\IZ [/mm] als Basis enthält.
f sind Polynome.
Ist es möglich, eine Abbildung zu konstruieren, um den Isomorphismus nachzuweisen?
Lg
Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Mo 18.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Plapper!
> G ist eine Gruppe. Mehr Angaben dazu hat der Prof nicht
> gemacht. Vielleicht möchte er ja wissen, für welche
> Gruppe diese Isomorphie gelten kann!?
Ich vermute eher, die Aufgabenstellung lautet: "Finden sie eine Gruppe $G$ und ein Polynom $f$, so dass folgende Isomorphismen stimmen:", und dann die beiden Isomorphismen aus der Frage.
Stimmt's?
> [mm]\IR[\IZ/3\IZ][/mm] ist auch eine Gruppenalgebra über [mm]\IR,[/mm] die
> die Gruppe [mm]\IZ/3\IZ[/mm] als Basis enthält.
>
> f sind Polynome.
>
> Ist es möglich, eine Abbildung zu konstruieren, um den
> Isomorphismus nachzuweisen?
Ja. Wenn du $f$ und $G$ passend waehlst, gibt es Isomorphismen.
Weisst du wie so eine Gruppenalgebra aussieht?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
Genau das will der Prof wissen. Er sagt immer: "Stimmt das?" und will dann eigentlich hören "Ja, wenn ich das so und so wähle..."
Eine Gruppenalgebra K[G] ist eine K-Algebra, die G als Basis und multiplikative Untergruppe enthält. K[G] ist also der Ring aller formalen Summen [mm] \summe_{g \in G} a_g\*g (a_g \in [/mm] K, fast alle =0)
zum ersten Isomorphismus:
Kann ich jetzt sagen, ich nehme mir ein Element aus [mm] \IC, [/mm] also a+ib und sage mir jetzt, was [mm] (a+ib)*\summe_{g \in G} a_g\*g [/mm] ist? Diesmal ist [mm] a_g \in \IR.
[/mm]
ODer soll ich jetzt eine Gruppe vermuten? Zum Beispiel die triviale Gruppe... Wie stelle ich dann den Isomorphismus auf?
Lg
Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mo 18.01.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Genau das will der Prof wissen. Er sagt immer: "Stimmt
> das?" und will dann eigentlich hören "Ja, wenn ich das so
> und so wähle..."
>
> Eine Gruppenalgebra K[G] ist eine K-Algebra, die G als
> Basis und multiplikative Untergruppe enthält. K[G] ist
> also der Ring aller formalen Summen [mm]\summe_{g \in G} a_g\*g (a_g \in[/mm]
> K, fast alle =0)
>
> zum ersten Isomorphismus:
> Kann ich jetzt sagen, ich nehme mir ein Element aus [mm]\IC,[/mm]
> also a+ib und sage mir jetzt, was [mm](a+ib)*\summe_{g \in G} a_g\*g[/mm]
> ist? Diesmal ist [mm]a_g \in \IR.[/mm]
> ODer soll ich jetzt eine
> Gruppe vermuten? Zum Beispiel die triviale Gruppe... Wie
> stelle ich dann den Isomorphismus auf?
Wenn du dir vor der Probier- und Vermutungsphase vielleicht noch mal überlegst, daß ein [mm] $\IR$-Algebren-Isom. [/mm] insbesondere auch ein VR-Isomorphismus sein muß, dann könntest du dir die Dimensionen anschauen und etwas über die Möglichkeiten für G sagen.
Mach mal.
Dieter
>
> Lg
> Plapper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
Ein [mm] \IC [/mm] VR über sich selbst hat eine eindimensionale Basis.
Als [mm] \IR [/mm] VR besitzt [mm] \IC [/mm] eine zweidimensionale Basis.
Uns interessiert doch aber der erste Fall?
Dann kann [mm] \IC [/mm] auch nur zu etwas eindimensionalem isomoprh sein, also zu einer Gruppenalgebra, die eine eindimensionale Basis enthält. Und G ist ja die Basis, also darf G nur aus einem Element bestehen und das ist die triviale Gruppe.
Stimmt das?
Liebe Grüße
Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 18.01.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ein [mm]\IC[/mm] VR über sich selbst hat eine eindimensionale
> Basis.
> Als [mm]\IR[/mm] VR besitzt [mm]\IC[/mm] eine zweidimensionale Basis.
> Uns interessiert doch aber der erste Fall?
> Dann kann [mm]\IC[/mm] auch nur zu etwas eindimensionalem isomoprh
> sein, also zu einer Gruppenalgebra, die eine
> eindimensionale Basis enthält. Und G ist ja die Basis,
> also darf G nur aus einem Element bestehen und das ist die
> triviale Gruppe.
> Stimmt das?
Nee, stimmt so noch nich! Es sind [mm] $\IR$-Algebren, [/mm] also auch [mm] $\IR$-Vektorräume.
[/mm]
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
> Nee, stimmt so noch nich! Es sind [mm]\IR[/mm]-Algebren, also auch
> [mm]\IR[/mm]-Vektorräume.
Das heißt, uns interessiert also doch der Fall, in dem wir eine zweidimensionale Basis haben. Dann darf die Gruppe G nur aus zwei elementen bestehen. Und das ist ja dann [mm] G=\{0,1\} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mo 18.01.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> > Nee, stimmt so noch nich! Es sind [mm]\IR[/mm]-Algebren, also auch
> > [mm]\IR[/mm]-Vektorräume.
> Das heißt, uns interessiert also doch der Fall, in dem
> wir eine zweidimensionale Basis haben. Dann darf die Gruppe
> G nur aus zwei elementen bestehen. Und das ist ja dann
> [mm]G=\{0,1\}[/mm] ?
Ich würde die beiden Elemente lieber e und g nennen. Was soll jetzt das Bild von i sein? Was ergibt sich aus [mm] i^2 [/mm] = -1?
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
> Ich würde die beiden Elemente lieber e und g nennen. Was
> soll jetzt das Bild von i sein? Was ergibt sich aus [mm]i^2[/mm] =
> -1?
Ist es richtig, dass ich es jetzt eigentlich schaffen müsste, alle komplexen Zahlen auf e und g abzubilden? Nee, das ist ja Quatsch, ich bilde ja nicht auf die Gruppe ab, sondern auf die Gruppenalgebra.
Und e ist ja wahrscheinlich das neutrale Element. Dann ist aber [mm] \summe_{g\in G} a_g*e [/mm] = [mm] \summe_{g\in G} a_g
[/mm]
Ich verstehe nicht richtig, wie ich das [mm] i^2 [/mm] jetzt einsetzen soll? eigentlich ja für das g in der Summe?
Für [mm] i^2=-1 [/mm] ergibt sich also [mm] -\summe_{g\in G} a_g?
[/mm]
Lg
Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | statler |
hi!
> > Ich würde die beiden Elemente lieber e und g nennen. Was
> > soll jetzt das Bild von i sein? Was ergibt sich aus [mm]i^2[/mm] =
> > -1?
>
> Ist es richtig, dass ich es jetzt eigentlich schaffen
> müsste, alle komplexen Zahlen auf e und g abzubilden? Nee,
> das ist ja Quatsch, ich bilde ja nicht auf die Gruppe ab,
> sondern auf die Gruppenalgebra.
Genau, und zwar bijektiv.
> Und e ist ja wahrscheinlich das neutrale Element. Dann ist
> aber [mm]\summe_{g\in G} a_g*e[/mm] = [mm]\summe_{g\in G} a_g[/mm]
> Ich
> verstehe nicht richtig, wie ich das [mm]i^2[/mm] jetzt einsetzen
> soll? eigentlich ja für das g in der Summe?
> Für [mm]i^2=-1[/mm] ergibt sich also [mm]-\summe_{g\in G} a_g?[/mm]
>
Also das Bild von x + yi soll ae + bg sein. Nun ist es aber auch ein Algebren-Homomorphismus, also muß das Bild von (x + [mm] yi)^2 [/mm] = (ae + bg)^ sein. Was ist in der Gruppenalgebra die 1? Was die -1? Jetzt versuch mal, notwendige Bedingungen für das Bild von i zu finden.
Nächster Versuch ...
Dieter
> Lg
> Plapper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
Im Vorab schon mal vielen Dank, dass du dich mir annimmst...
> Also das Bild von x + yi soll ae + bg sein. Nun ist es aber
> auch ein Algebren-Homomorphismus, also muß das Bild von (x
> + [mm]yi)^2[/mm] = (ae + bg)^ sein. Was ist in der Gruppenalgebra
> die 1?
[mm] 1=\summe_{g \in G} a_g*g [/mm] mit [mm] a_{g_0}=1 [/mm] für alle g [mm] \not= g_0 [/mm] und alle anderen [mm] a_g=0. [/mm] und [mm] g_0=e
[/mm]
Stimmt das?
> Was die -1?
Die -1 ist das gleiche wie oben, nur eben mit [mm] a_{g_0}=-1, [/mm] oder?
> Jetzt versuch mal, notwendige
> Bedingungen für das Bild von i zu finden.
Mmh... das versteh ich nicht so recht... Ist es dann also immer erforderlich, dass bei [mm] \summe_{g \in G} a_g*g [/mm] ein [mm] a_{g_0}=a [/mm] und noch ein weiteres [mm] a_{g_1}=b [/mm] ist? und sonst sind alle [mm] a_g=0? [/mm] und für die [mm] g\in [/mm] G darf ich ja nur die e und g einsetzen...
Lg, Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Di 19.01.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> > Jetzt versuch mal, notwendige
> > Bedingungen für das Bild von i zu finden.
> Mmh... das versteh ich nicht so recht... Ist es dann also
> immer erforderlich, dass bei [mm]\summe_{g \in G} a_g*g[/mm] ein
> [mm]a_{g_0}=a[/mm] und noch ein weiteres [mm]a_{g_1}=b[/mm] ist? und sonst
> sind alle [mm]a_g=0?[/mm] und für die [mm]g\in[/mm] G darf ich ja nur die e
> und g einsetzen...
Wir sind uns doch bereits einig, daß G 'die' Gruppe mit 2 Elementen sein muß, also G = {e, g}.
Wegen der Homomorphie muß dann (ae + [mm] bg)^2 [/mm] = (-1)e sein. Aber die linke Seite kannst du mehr oder weniger ausrechnen, sie ist [mm] (a^2 [/mm] + [mm] b^2)e [/mm] + (2ab)g.
Und nun?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 19.01.2010 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
Ich habe diese Aufgabe heut nochmal mit meinem Prof durchgesprochen...
Und nun bin ich gespannt, ob ich sie immernoch genauso erklären kann...
Wir nehmen also an, [mm] \IC \cong \IR[G] [/mm] und unsere Gruppe bleibt G={e,g}.
UNd nun schauen wir uns die Abbildung f: [mm] \IR[G] \to \IC [/mm] an.
Wir wissen, wie wir in der Gruppe rechnen:
[mm] e\*e=e
[/mm]
[mm] e\*g=g\*e=g
[/mm]
[mm] g\*g=e
[/mm]
In [mm] \IC [/mm] muss nun also [mm] f(e)\*f(e)=f(e) [/mm] und [mm] f(g)\*f(g)=f(e) [/mm] sein.
Es folgt, dass f(e)=1 oder =0 ist. 0 kann es ja aber nicht sein, weil f(e) und f(g) zusammen die [mm] \IR-Basis [/mm] von [mm] \IC [/mm] bilden. Also ist f(e)=1.
Somit folgt weiter, dass f(g)=1 oder -1 ist.
die eins ist schon vergeben und die -1 ist auch auszuschließen, denn wir brauchen unabhängige Basisvektoren.
Also existiert der Isomorphismus nicht.
Ist das so auch richtig erklärt?
Lg
Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Di 19.01.2010 | | Autor: | statler |
Prima!
> Ich habe diese Aufgabe heut nochmal mit meinem Prof
> durchgesprochen...
> Und nun bin ich gespannt, ob ich sie immernoch genauso
> erklären kann...
> Wir nehmen also an, [mm]\IC \cong \IR[G][/mm] und unsere Gruppe
> bleibt G={e,g}.
> UNd nun schauen wir uns die Abbildung f: [mm]\IR[G] \to \IC[/mm]
> an.
> Wir wissen, wie wir in der Gruppe rechnen:
> [mm]e\*e=e[/mm]
> [mm]e\*g=g\*e=g[/mm]
> [mm]g\*g=e[/mm]
> In [mm]\IC[/mm] muss nun also [mm]f(e)\*f(e)=f(e)[/mm] und [mm]f(g)\*f(g)=f(e)[/mm]
> sein.
> Es folgt, dass f(e)=1 oder =0 ist. 0 kann es ja aber nicht
> sein, weil f(e) und f(g) zusammen die [mm]\IR-Basis[/mm] von [mm]\IC[/mm]
> bilden. Also ist f(e)=1.
> Somit folgt weiter, dass f(g)=1 oder -1 ist.
> die eins ist schon vergeben und die -1 ist auch
> auszuschließen, denn wir brauchen unabhängige
> Basisvektoren.
> Also existiert der Isomorphismus nicht.
>
> Ist das so auch richtig erklärt?
Bei dir geht der Isom. in die andere Richtung, aber das macht nix. Und dann findest du notwendige Bed. an den Isom., die sich widersprechen. Alles ganz vorschriftsmäßig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Di 19.01.2010 | | Autor: | Plapper |
Danke für deine Hilfe!!!
Jetzt ist es mir klarer geworden!
Lg, Plapper
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 19.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> > G ist eine Gruppe. Mehr Angaben dazu hat der Prof nicht
> > gemacht. Vielleicht möchte er ja wissen, für welche
> > Gruppe diese Isomorphie gelten kann!?
>
> Ich vermute eher, die Aufgabenstellung lautet: "Finden sie
> eine Gruppe [mm]G[/mm] und ein Polynom [mm]f[/mm], so dass folgende
> Isomorphismen stimmen:", und dann die beiden Isomorphismen
> aus der Frage.
>
> Stimmt's?
Nehme ich auch an.
>
> > [mm]\IR[\IZ/3\IZ][/mm] ist auch eine Gruppenalgebra über [mm]\IR,[/mm] die
> > die Gruppe [mm]\IZ/3\IZ[/mm] als Basis enthält.
> >
> > f sind Polynome.
> >
> > Ist es möglich, eine Abbildung zu konstruieren, um den
> > Isomorphismus nachzuweisen?
>
> Ja. Wenn du [mm]f[/mm] und [mm]G[/mm] passend waehlst, gibt es
> Isomorphismen.
Hm, also ich finde die Argumente überzeugend, warum die a) eben falsch sein muss - welches G hattest du denn im Sinn?
Ich habe mir etwas Gedanken zur b) gemacht, aber ich bin nicht viel weitergekommen:
Da [m]\IZ_3[/m] 3 elementig ist, muss [m]\IR[x]/(f)[/m] 3 dimensional sein, also f ein Polynom dritten Grades. Über [m]\IR[/m] gibt es dann im wesentlichen zwei Fälle - f zerfällt ganz, oder aber f hat nur eine Nullstelle - auf jeden Fall gibt es Nullteiler. Nun - könnte man sehn, ob [m]\IR[\IZ_3][/m] Nullteiler frei ist? Das GLS für zwei beliebige Elemente find eich nicht sehr hilfreich ... Andere Idee: Als Algebra werden die Algebren von X (der Restklasse von X unter der Projektion) bzw. 1 ([m]\in \IZ_3[/m]) erzeugt ... hm, also vielleicht so: Sei [m]f=X^3-1[/m], dann definiere den Isomoirphismus in dem man X auf die 1 in [m]\IR[\IZ_3][/m] schickt, dies kann man von [m]\IR[X][/m] auf alle Fälle machen und sollte sich durchdrücken, da [m]1+1+1=0[/m] in [m]\IZ_3[/m] gilt und damit [m]X^3-1[/m] zu mindest im Kern ist; da es ein surjektive VR-Hom ist, folgt dass es zumindest ein VR-Iso ist, aber dann auch ein Algebren-Iso.
Ich weiß nicht, ob das jetzt mehr eine Antwort oder eine Frage ist - ich lass es mal als Frage stehn, damit hier wieder Aufmerksamkeit reinfließt zum Checken meiner Gedanken.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Di 19.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki,
> > > [mm]\IR[\IZ/3\IZ][/mm] ist auch eine Gruppenalgebra über [mm]\IR,[/mm] die
> > > die Gruppe [mm]\IZ/3\IZ[/mm] als Basis enthält.
> > >
> > > f sind Polynome.
> > >
> > > Ist es möglich, eine Abbildung zu konstruieren, um den
> > > Isomorphismus nachzuweisen?
> >
> > Ja. Wenn du [mm]f[/mm] und [mm]G[/mm] passend waehlst, gibt es
> > Isomorphismen.
>
> Hm, also ich finde die Argumente überzeugend, warum die a)
> eben falsch sein muss - welches G hattest du denn im Sinn?
da habt ihr Recht, das stimmt gar nicht. Ich haette $R = [mm] \IZ/2\IZ$ [/mm] genommen, aber dann bekommt man nicht [mm] $\IC$ [/mm] sondern [mm] $\IR[X]/(X^2 [/mm] - 1) [mm] \cong \IR \times \IR$, [/mm] was gar kein Koerper ist.
> Ich habe mir etwas Gedanken zur b) gemacht, aber ich bin
> nicht viel weitergekommen:
>
> Da [m]\IZ_3[/m] 3 elementig ist, muss [m]\IR[x]/(f)[/m] 3 dimensional
> sein, also f ein Polynom dritten Grades.
Man kann es sich auch so ueberlegen: sei [mm] $\IZ_3$ [/mm] erzeugt von $g$. Dann gilt [mm] $g^3 [/mm] = e$, womit das Element $g$ in [mm] $\IR[\IZ_3]$ [/mm] die Gleichung [mm] $g^3 [/mm] - 1$ erfuellt. Also kann man sich vorstellen, dass $f= [mm] x^3 [/mm] - 1$ sein muss.
> Über [m]\IR[/m] gibt es
> dann im wesentlichen zwei Fälle - f zerfällt ganz, oder
> aber f hat nur eine Nullstelle - auf jeden Fall gibt es
> Nullteiler. Nun - könnte man sehn, ob [m]\IR[\IZ_3][/m]
> Nullteiler frei ist? Das GLS für zwei beliebige Elemente
> find eich nicht sehr hilfreich ... Andere Idee: Als Algebra
> werden die Algebren von X (der Restklasse von X unter der
> Projektion) bzw. 1 ([m]\in \IZ_3[/m]) erzeugt ... hm, also
> vielleicht so: Sei [m]f=X^3-1[/m], dann definiere den
> Isomoirphismus in dem man X auf die 1 in [m]\IR[\IZ_3][/m]
> schickt, dies kann man von [m]\IR[X][/m] auf alle Fälle machen
> und sollte sich durchdrücken, da [m]1+1+1=0[/m] in [m]\IZ_3[/m] gilt und
> damit [m]X^3-1[/m] zu mindest im Kern ist; da es ein surjektive
> VR-Hom ist, folgt dass es zumindest ein VR-Iso ist, aber
> dann auch ein Algebren-Iso.
Genau.
> Ich weiß nicht, ob das jetzt mehr eine Antwort oder eine
> Frage ist - ich lass es mal als Frage stehn, damit hier
> wieder Aufmerksamkeit reinfließt zum Checken meiner
> Gedanken.
Ich denke, es ist schon mehr Antwort als Frage
Es duerfte dem Fragesteller zumindest einige Anregungen zum drueber nachdenken liefern.
LG Felix
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