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Hallo,
bei folgender Aufgabe stehe ich leider ziemmlich auf dem Schlauch:
Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume [mm] B=(v_{1}...v_{n}) [/mm] eine Basis von V und [mm] C=(w_{1}...w_{n}) [/mm] eine Basis von W und f: V [mm] \to [/mm] W eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass der von den Spalten von [mm] M_{B}^{C} [/mm] erzeugte Teilraum von isomorph zu bild(f) ist.
Ich muss also einen Isomorphismus zwischen den vom von den Spalten erzeugten Teilraum und bild(f) zeigen. Dass heißt, ich muss zeigen, dass eine bijektive, K-lineare Abbildung zwischen den beiden UVR besteht. Das ist jetzt aber leider schon alles was mir dazu einfällt. Wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte.
Gruß Matthias
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de
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> Hallo,
> bei folgender Aufgabe stehe ich leider ziemmlich auf dem
> Schlauch:
> Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume
> [mm]B=(v_{1}...v_{n})[/mm] eine Basis von V und [mm]C=(w_{1}...w_{n})[/mm]
> eine Basis von W und f: V [mm]\to[/mm] W eine K-lineare Abbildung.
> Zeigen Sie, dass der von den Spalten von [mm]M_{B}^{C}[/mm]
> erzeugte Teilraum von isomorph zu bild(f) ist.
>
> Ich muss also einen Isomorphismus zwischen den vom von den
> Spalten erzeugten Teilraum und bild(f) zeigen. Dass heißt,
> ich muss zeigen, dass eine bijektive, K-lineare Abbildung
> zwischen den beiden UVR besteht.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das, was Du schreibst, ist richtig, und man tut das am besten, indem man den Isomorphismus angibt und dann vorrechnet, daß es wirklich einer ist.
Zuvor organisieren und überlegen wir noch etwas.
Es ist ja Bild [mm] f=.
[/mm]
Unsere Darstellungsmatrix [mm] M_{B}^{C} [/mm] sei [mm] U:=\pmat{u_1&u_2&...&u_n} [/mm] mit [mm] u_i\in K^n, [/mm] wobei [mm] u_i:=\vektor{u_1_i\\\vdots\\u_n_i} [/mm] mit [mm] f(v_i)=u_1_iw_1+...+u_n_iw_n.
[/mm]
(Hier steht, daß die Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der [mm] v_i [/mm] in Koordinaten bzgl. [mm] C=(w_{1}...w_{n}) [/mm] enthalten.)
Nun ist es ja wirklich naheliegend den Isomorphismus [mm] \varphi: \to [/mm] so zu definieren:
[mm] \varphi (\lambda_1u_1+...+\lambda_nu_n):=\lambda_1f(v_1)+...+f(v_n) [/mm] für alle [mm] \lambda_i\in [/mm] K.
Es ist nun nachzuweisen, daß dies wirklich ein Isomorphismus ist.
Dazu ist nachzuweisen, was Du oben schon schreibst, namlich
> bijektive, K-lineare Abbildung,
aber noch etwas ganz Wichtiges darf man hier nicht vergessen: die Wohldefiniertheit.
Das Problem ist ja, daß die Spalten nicht unbedingt linear unabhängig sind, daß also trotz verschiedener Koeffizienten [mm] \lambda_i [/mm] , [mm] \mu_i [/mm] die Vektoren [mm] \lambda_1u_1+...+\lambda:nu_n [/mm] und [mm] \mu_1u_1+...+\mu_nu_n [/mm] gleich sein können.
Wir müssen nun sicherstellen, daß ihnen vermöge [mm] \varphi [/mm] auch der gleiche Funktionswert zugewiesen wird.
Du mußt also zeigen, daß für [mm] \lambda_1u_1+...+\lambda_nu_n= \mu_1u_1+...+\mu_nu_n [/mm] gilt
[mm] \varphi(\lambda_1u_1+...+\lambda_nu_n)= \varphi(\mu_1u_1+...+\mu_nu_n).
[/mm]
Tip hierzu:
es ist [mm] \lambda_1u_1+...+\lambda_nu_n=U*\vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n} [/mm] = [mm] \vektor{\nu_1\\\vdots\\\nu_n} [/mm] mit [mm] f(\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n)=\nu_1w_1+...+\nu_nw_n
[/mm]
Gruß v. Angela
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