Isomorphismus lineare Abb < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:23 Di 08.12.2009 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Sei V ein (beliebigdimensionaler) Vektorraum über K. Definiere [mm] \gamma: [/mm] V [mm] \to [/mm] V** durch [mm] \gamma(v) [/mm] = [mm] \gamma_{v}, [/mm] s.d. [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] V* [mm] \gamma_{v}(f)=f(v).
[/mm]
Sei V UNendlichdimensional. Beweisen Sie, dass [mm] \gamma [/mm] kein Isomorphismus ist. |
In der Vorlesung haben wir diese Behauptung für V endlichdimensional bewiesen. d.h. dass [mm] \gamma [/mm] linear, injektiv und surjektiv ist.
Hat jemand eine Idee wie ich den widerspruch für V unendlichdimensional zeigen kann?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V ein (beliebigdimensionaler) Vektorraum über K.
> Definiere [mm]\gamma:[/mm] V [mm]\to[/mm] V** durch [mm]\gamma(v)[/mm] = [mm]\gamma_{v},[/mm]
> s.d. [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] V* [mm]\gamma_{v}(f)=f(v).[/mm]
>
> Sei V UNendlichdimensional. Beweisen Sie, dass [mm]\gamma[/mm] kein
> Isomorphismus ist.
> In der Vorlesung haben wir diese Behauptung für V
> endlichdimensional bewiesen. d.h. dass [mm]\gamma[/mm] linear,
> injektiv und surjektiv ist.
>
> Hat jemand eine Idee wie ich den widerspruch für V
> unendlichdimensional zeigen kann?
Nur ein kurzer Tipp: im unendlichdimensionalen Fall ist die Abbildung ebenfalls linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv. Du musst also etwas mit der Surjektivitaet machen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:19 Mi 09.12.2009 | | Autor: | matt101 |
Heisst das dass ich zeigen soll dass [mm] Bild(\gamma) [/mm] ist ungleich V**?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Heisst das dass ich zeigen soll dass [mm]Bild(\gamma)[/mm] ist
> ungleich V**?
Genau
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mi 09.12.2009 | | Autor: | matt101 |
ich arbeite immer noch an einem Widerspruch für die Surjektivität.
Gilt es grundsätzlich dass dim(V) = dim(V*) = dim(V**) wenn V unendlich dimensional ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:57 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich arbeite immer noch an einem Widerspruch für die
> Surjektivität.
Du wirst dir wohl explizit ein Element in [mm] $V^{\ast\ast}$ [/mm] konsturieren muessen, welches nicht im Bild liegt.
Dazu musst du eine Linearform $f : [mm] V^\ast \to [/mm] K$ finden mit $f [mm] \neq g_v$ [/mm] fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$, wenn [mm] $g_v [/mm] : [mm] V^\ast \to [/mm] K$, $h [mm] \mapsto [/mm] h(v)$. Fuer $f$ muss also gelten [mm] $\forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \exists [/mm] w [mm] \in V^\ast [/mm] : f(w) [mm] \neq [/mm] w(v)$.
Dazu mal eine Frage: ist $K$ bei euch ein beliebiger Koerper? Oder ist $K [mm] \in \{ \IR, \IC \}$ [/mm] (dann beachte, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}$ [/mm] konvergiert; damit kannst du dir ein solches $f$ basteln)?
> Gilt es grundsätzlich dass dim(V) = dim(V*) = dim(V**)
> wenn V unendlich dimensional ist?
Nein, ich denke nicht. Ist etwa $K = [mm] \IR$ [/mm] und $V$ der Vektorraum der Polynome ueber $K$, hat also eine abzaehlbar unendliche Basis [mm] ($x^0, [/mm] x, [mm] x^2, x^3, \dots$), [/mm] so hat [mm] $V^\ast$ [/mm] keine abzaehlbare Basis mehr: es gibt naemlich zu jeder Teilmenge $S$ von [mm] $\IN$ [/mm] eine Linearform [mm] $f_S [/mm] : V [mm] \to [/mm] K$ mit [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \mapsto \sum_{n \in S} a_n$. [/mm] Diese Linearformen sind linear unabhaengig in [mm] $V^\ast$, [/mm] womit die Dimension von [mm] $V^\ast$ [/mm] mind. der Maechtigkeit der Potenzmenge von [mm] $\IN$ [/mm] entspricht, also der Maechtigkeit von [mm] $\IR$. [/mm] Damit ist [mm] $\dim V^\ast$ [/mm] ueberabzaehlbar, also echt groesser als das abzaehlbare [mm] $\dim [/mm] V$.
LG Felix
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