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| Aufgabe | | Gesucht sind alle Isomorphismen zwischen den Gruppen [mm] (\IZ_{4},+_{4}) [/mm] und [mm] (\IZ\backslash{0}_{5},*_{5}) [/mm] |
Hallo...
Ich sitze gerade am Lernen fürs Mathe-Examen und komme mit den Isomorphismen überhaupt nicht klar. Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen könnte, da mir auch noch nicht wirklich klar ist, was Isomorphsmen eigentlich sind. Okay, ich weiß, es sind strukturerhaltende, bijektive Abbildungen von der einen Menge in die andere, aber wie finde ich solche?
Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet!
Liebe Grüße!
Katrin
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> Gesucht sind alle Isomorphismen zwischen den Gruppen
> [mm](\IZ_{4},+_{4})[/mm] und [mm](\IZ\backslash{0}_{5},*_{5})[/mm]
> Hallo...
> Ich sitze gerade am Lernen fürs Mathe-Examen und komme
> mit den Isomorphismen überhaupt nicht klar. Ich habe
> leider keinen Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen könnte,
> da mir auch noch nicht wirklich klar ist, was Isomorphsmen
> eigentlich sind. Okay, ich weiß, es sind
> strukturerhaltende, bijektive Abbildungen von der einen
> Menge in die andere, aber wie finde ich solche?
>
> Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet!
Hallo,
ich gehe davon aus, daß Dir die Bedingungen für "Gruppenhomomorphismus" geläufig sind.
Immer gilt: das neutrale Element muß aufs neutrale abgebildet werden.
Hier hast Du zwei zyklische Gruppen der Ordnung 4.
Da man fürs Abbilden des neutralen Elementes keine Auswahl hat, bleiben noch drei Elemente.
Wenn Du jetzt berücksichtigst, daß erzeugende Elemente stets auf erzeugende abgebildet werden müssen,
merkst Du, daß sich die Anzahl der Möglichkeiten sehr reduziert.
Worauf kannst Du die 1 abbilden?
Was ergibt sich daraus.
Gruß v. Angela
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Danke für deine Hilfe! Das neutrale Element in [mm] (\IZ_{4},+_{4}) [/mm] ist ja 0, in [mm] (\IZ*_{5},*_{4}) [/mm] ist das neutrale Element 1. Also gilt: f(0) = 1?
Das erzeugende Element ist in [mm] (\IZ_{4},+_{4}) [/mm] die 1, in [mm] (\IZ*_{5},*_{4}) [/mm] die 2. Also gilt: f(1) = 2?
Bleiben mir für die 2 und 3 noch folgende Möglichkeiten:
f(2) = 3
f(3) = 4
oder
f(2) = 4
f(3) = 3
Ist das jetzt die Lösung? Also gibt es zwei Isomorphismen? Muss man die Bedingung [mm] f(g\*h) [/mm] = f (g) ° f(h) noch für alle Elemente und alle möglichen Kombinationen überprüfen?
Wäre super, wenn du meine Lösung nochmal anschauen könntet!
Dankeschön!
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Hallo
> Bleiben mir für die 2 und 3 noch folgende
> Möglichkeiten:
> f(2) = 3
> f(3) = 4
>
> oder
>
> f(2) = 4
> f(3) = 3
>
> Ist das jetzt die Lösung? Also gibt es zwei Isomorphismen?
> Muss man die Bedingung [mm]f(g\*h)[/mm] = f (g) ° f(h) noch für
> alle Elemente und alle möglichen Kombinationen
> überprüfen?
Es reicht wenn du zeigst, dass ein Element und sein Bild jeweils die selbe Ordnung haben, sonst kann es kein Isomorphismus sein :)
Also einfach noch das überprüfen und dazu schreiben!
>
> Wäre super, wenn du meine Lösung nochmal anschauen
> könntet!
> Dankeschön!
Grüsse, Amaro
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da stehe ich gerade völlig auf dem Schlauch... Ist die Ordnung einer Gruppe nicht die Anzahl der Elemente? dann hat ein einzelnes Element doch die Ordnung 1?
Ich glaube, ich habe da etwas missverstanden....
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Hallo
> da stehe ich gerade völlig auf dem Schlauch... Ist die
> Ordnung einer Gruppe nicht die Anzahl der Elemente? dann
> hat ein einzelnes Element doch die Ordnung 1?
> Ich glaube, ich habe da etwas missverstanden....
Allerdings :)
Das einzige Element von Ordnung 1 ist das neutrale Element. Die Ordnung eines Elements ist die Ordnung der von ihm aufgespannten Untergruppe, also gesucht ist:
Das kleinste s [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] g^{s} [/mm] = e für ein g [mm] \in [/mm] G (G Gruppe)
Aber Felix hat recht. Die Gleichheit der Ordnung ist ein notwendiges Kriterium, jedoch reicht es noch nicht ganz, nur das zu zeigen. Gezeicht werden muss es aber trotzdem :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mi 04.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> > Ist das jetzt die Lösung? Also gibt es zwei Isomorphismen?
> > Muss man die Bedingung [mm]f(g\*h)[/mm] = f (g) ° f(h) noch für
> > alle Elemente und alle möglichen Kombinationen
> > überprüfen?
>
> Es reicht wenn du zeigst, dass ein Element und sein Bild
> jeweils die selbe Ordnung haben, sonst kann es kein
> Isomorphismus sein :)
Moment: wenn die Ordnungen nicht uebereinstimmen, kann es kein Isomorphismus sein. Aber nur weil die Ordnungen uebereinstimmen muss es noch lange nicht einer sein! Dann gibt es noch mehr zu ueberpruefen.
Da es sich hier um zyklische Gruppen handelt reicht es allerdings weniger zu testen.
LG Felix
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