Ist 1+1=2 in der Theorie wahr? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich habe bei Spiegel online gelesen, dass in der Theorie 1+1 nicht mehr =2 ist. |
Ich würde gerne wissen, warum.
Im Artikel wurde es nur nebenbei erwähnt ohne nähere Angaben zu machen. Ich würde mich freuen, wenn die Antwort so einfach wie möglich gehalten wird, da ich mein Abitur noch nicht geschrieben hab, dafür trotzdem in England das Äquivalent geschafft habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Streifenhörnchen,
würde gerne wissen, wo du das gelesen hast bzw. in welchem Zusammenhang. In der Theorie gilt nämlich 1+1=2 und zwar sofern 1 und 2 Zahlen sind, Elemente der natürlichen Zahlen [mm] \IN.
[/mm]
Die sind nämlich durch ein Anfangselement und die Addition A definiert (Peano Axiome).
0 ist das Anfangselement: Dann gilt: 0 + n = n und n + A(m) = A(n+m).
Für 1+1 gilt dann: 1 + 1 = A(0) + A(0) =A(A(0)+0) = A(A(0)) = 2.
Dass 2 =1+1 ist, folgt also aus der Definition, Axiomatisch ist nur die 1 und die Addition +.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> würde gerne wissen, wo du das gelesen hast bzw. in welchem
> Zusammenhang. In der Theorie gilt nämlich 1+1=2 und zwar
> sofern 1 und 2 Zahlen sind, Elemente der natürlichen Zahlen
> [mm]\IN.[/mm]
>
> Die sind nämlich durch ein Anfangselement und die Addition
> A definiert (Peano Axiome).
> 0 ist das Anfangselement: Dann gilt: 0 + n = n und n +
> A(m) = A(n+m).
> Für 1+1 gilt dann: 1 + 1 = A(0) + A(0) =A(A(0)+0) =
> A(A(0)) = 2.
>
> Dass 2 =1+1 ist, folgt also aus der Definition, Axiomatisch
> ist nur die 1 und die Addition +.
Genauer gesagt: man definiert 2 als das Element der natuerlichen Zahlen, welches der Nachfolger von 1 ist, oder anders gesagt, welches 1 + 1 ist.
Allerdings kommt die 1 und 0 auch in anderen Kontexten vor, zum Beispiel in beliebigen Ringen mit Einselement. Dort wird das additive neutrale Eleent gewoehnlich auch mit 0 bezeichnet, und das multiplikativ neutrale Element mit 1. Dort definiert man dann ebenfalls $2 := 1 + 1$ und $3 := 2 + 1$ etc. (bzw. man benutzt den kanonischen Ringmorphismus [mm] $\IZ \to [/mm] R$ mit $1 [mm] \mapsto [/mm] 1$ und bildet 2 und 3 darunter ab). Dort gilt also ebenfalls $1 + 1 = 2$. Jedoch kann es sein, dass $1 + 1$ auch noch andere Werte annimmt:
* zum Beispiel im endlichen Koerper mit zwei Elementen ist $1 + 1 = 2 = 0$;
* und im Nullring ist zum Beispiel $1 + 1 = 2 = 1 = 0$;
* im endlichen Koerper mit 3 Elementen ist $1 + 1 = 2 = 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1$, da dort $3 = 1 + 1 + 1 = 0$ ist.
Also nur das $1 + 1 = 0$ ist muss noch lange nicht heissen, dass $1 + 1 [mm] \neq [/mm] 2$ ist...
(Vielleicht ist das gerade das Missverstaednis, dem der OP oder die Spiegel-Autoren aufgesessen sind. Oder im Spiegel geht es um was anderes, wo der Ausdruck 1 + 1 eine andere Bedeutung hat. Streifenhoernchen, koenntest du evtl. ne Quelle angeben?)
LG Felix
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Mensch Felix, sie ist keine MatheStudentin, deswegen glaube ich kaum, dass sie weiss, was ein "kanonischer Ringmorphismus" geschweigedenn ein "Ring" ist...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Mo 02.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo bellybutton
> Mensch Felix, sie ist keine MatheStudentin, deswegen glaube
> ich kaum, dass sie weiss, was ein "kanonischer
> Ringmorphismus" geschweigedenn ein "Ring" ist...
Das ist mir schon klar. Mein Beitrag soll ja auch nur eine zusaetzliche Anmerkung sein (eine Antwort gibt es ja schon), u.a. fuer eventuell weitere Personen die sich diesen Thread anschauen weil sie sich ebenfalls fuer diese Fragestellung interessieren, die aber evtl. etwas mehr Background haben.
Und bevor ich einfach nur schreibe, dass es in der Mathematik auch Kontexte gibt, in denen z.B. $1 + 1 = 0$ oder $1 + 1 = 1$ ist, schreib ich lieber etwas mehr, damit man sich bei Bedarf selber weiter informieren kann ohne erst nachfragen zu muessen. Was ein Ring ist, kann man ja problemlos bei Wikipedia nachschauen, und Bemerkungen in Klammern (etwa die zum kanonischen Ringmorphismus) kann man auch ignorieren :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Fulla |
Hallo zusammen!
Für alle, die es interessiert: beim Spiegel findet man ![[]](/images/popup.gif) das hier
Allerdings kostet eine ausführlichere Ansicht 2,- :-/
In diesem Sinne...
Fulla
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