Ist Abbildung linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Di 01.12.2009 | | Autor: | Galboa |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind linear
(i)f: R² -> R, [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] -> [mm] x_{1}² [/mm] + [mm] x_{2}²
[/mm]
(iv) f: [mm] C_{2} [/mm] ² -> [mm] C_{2} [/mm] , [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] -> [mm] x_{1}² [/mm] + [mm] x_{2}² [/mm] |
Ich muss ja zeigen dass:
- f(x+y) = f(x) + f(y)
- f(a*x) = a*f(x) gelten
zu (i) [mm] f((x_{1}, x_{2})+ (y_{1}, y_{2})) [/mm] = [mm] f((x_{1}+ y_{1}),(x_{2}+ y_{2}) [/mm]
und jetzt meine Frage: Wie geht die Gleichung weiter?
- [mm] (x_{1}+ y_{1}) [/mm] ² + [mm] (x_{2}+ y_{2}) [/mm] ²
- [mm] (x_{1}+ y_{1}) [/mm] ² + 0
- [mm] (x_{1}+ y_{1}) [/mm] ² + [mm] (x_{2}+ y_{2})
[/mm]
?
Ich dachte eigentlich mit der 1. Möglichkeit aber was für eine Bedeutung hätte dann R² -> R ?
Wenn jemand mir die Frage beantworten könnte, könnte ich vllt auch dann zur anderen Aufgabe meine Frage stellen, vielen Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
f: R² -> R, $ [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] $ -> $ [mm] x_{1}² [/mm] $ + $ [mm] x_{2}² [/mm] $ ist nicht linear !
Berechne mal
f(2,0) und f(1,0)
Gilt f(2,0) =2f(1,0) ?
Was ist $ [mm] C_{2} [/mm] $ ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 01.12.2009 | | Autor: | Galboa |
Naja, also ich weiß, dass es nicht linear ist und ich weiß auch, dass wenn man ein Gegenbeispiel bringt wie deins, dass schon als Beweis ausreicht. Aber ich will es ja grundsätzlich verstehen. Und deswegen will ich ja verstehen wie ich da weiterrechne, siehe Frage oben.
[mm] C_{2} [/mm] ist eben ein Ring.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Was willst Du denn weiterrechnen ? Die Frage (i) war: ist diese Abbildung linear ?
Mein Beispiel zeigt: sie ist es nicht. Fertig. Frage beantwortet.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Di 01.12.2009 | | Autor: | Galboa |
Ich will nicht die Lösung, sondern verstehen wie man die Aufgabe eben rechnet. Klar kann ich mit einem Gegenbsp sofort zeigen sie ist nicht linear, aber das bringt mir für Aufgaben bei denen das Ergebnis linear ist nichts wenn ich nicht weiß wie man es rechnet. Darum will ich wissen wie man eben ab dem Schritt:
[mm] f((x_{1}, x_{2})+ (y_{1}, y_{2})) [/mm] = [mm] f((x_{1}+ y_{1}),(x_{2}+ y_{2}) [/mm] weiterrechnet weil ich mir ab da nicht sicher bin welche von den 3 Möglichkeiten die ich oben beschrieben hab die Richtige ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Di 01.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast [mm] f(x1,x2)=x1^2+x2^2; f(y1,y2)=y1^2+y2^2
[/mm]
[mm] f(x1+y1,x2+y2)=(x1+y1)^2+(x2+y2)^2=x1^2+x2^2+y1^2+y2^2+2x1y1+2x2y2\ne x1^2+x2^2+y1^2+y2^2=f(x1,y1)+f(x2,y2)
[/mm]
also Ungleichheit allgemein gezeigt.
entsprechend [mm] \lambda*(f(x1,x2)=\lambda*x1^2+\lambda*x2^2
[/mm]
[mm] f(\lambda*x1,\lambda*x2)=\lambda^2x1^2+\lambda^2x2^2\ne \lambda*f(x1,x2)
[/mm]
wars das was du wolltest?
wenn es linear wäre müsste statt |ne da = stehen.
Gruss leduart
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> Welche der folgenden Abbildungen sind linear
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> (i)f: R² -> R, [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] -> [mm]x_{1}^2[/mm] + [mm]x_{2}^2[/mm]
> (iv) f: [mm]C_{2}^2[/mm] -> [mm]C_{2}[/mm] , [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] -> [mm]x_{1}^2+x_{2}^2[/mm]
> Ich muss ja zeigen dass:
> - f(x+y) = f(x) + f(y)
> - f(a*x) = a*f(x) gelten
>
> zu (i) [mm]f((x_{1}, x_{2})+ (y_{1}, y_{2}))[/mm] = [mm]f((x_{1}+ y_{1}),(x_{2}+ y_{2})[/mm]
> und jetzt meine Frage: Wie geht die Gleichung weiter?
>
> - [mm](x_{1}+ y_{1})[/mm] ² + [mm](x_{2}+ y_{2})^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> - [mm](x_{1}+ y_{1})[/mm] ² + 0 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> - [mm](x_{1}+ y_{1})[/mm] ² + [mm](x_{2}+ y_{2})[/mm]
>
> Ich dachte eigentlich mit der 1. Möglichkeit aber was für
> eine Bedeutung hätte dann R² -> R ?
Die Abbildung ordnet jedem Zahlenpaar [mm] x=(x_1,x_2)\in\IR^2 [/mm] eine
reelle Zahl [mm] f(x)\in\IR [/mm] zu.
Natürlich ist die 1. Möglichkeit die richtige.
Dann multiplizierst du dies alles aus und
vergleichst das Ergebnis mit dem, das entsteht,
wenn du f(x)+f(y)= ...... ausrechnest und
durch [mm] x_1, x_2, y_1, y_2 [/mm] darstellt.
Übrigens: In Aufgabe (iv) ist [mm] C_2 [/mm] wohl nicht einfach
irgendein Ring, sondern der zyklische Ring aus
den zwei Elementen 0 und 1 .
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 01.12.2009 | | Autor: | Galboa |
Oke dankeschön das wollte ich wissen danke auch leduart, aber jetzt zu (iv)
Ja des mit dem Ring weiß ich.
Wenn ich jetzt f(a+b) rechne, bekomme ich ja die 1. binomische Formel. Ist dann 2xy wegen dem zyklischen Ring 0*xy? Dann haut des hin für die addition.
ABER:
f(a*x1,a*x2) = a*f(x1,x2) muss ja gelten
Wenn ich das nun ausrechne bekomme ich für f(a*x1,a*x2) = a²*(x1²+x2²) raus, aber das ist ja nicht a*f(x1,x2)?
edit: muss jetzt leider los, aber über ne Antwort würde ich mich dennoch freuen, vielen dank!
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> zu (iv):
> Ja das mit dem Ring weiß ich.
> Wenn ich jetzt f(a+b) rechne, bekomme ich ja die 1.
> binomische Formel. Ist dann 2xy wegen dem zyklischen Ring
> 0*xy? Dann haut des hin für die addition.
Ja, in [mm] C_2 [/mm] gilt "2"=1+1=0
> ABER:
>
> f(a*x1,a*x2) = a*f(x1,x2) muss ja gelten
>
> Wenn ich das nun ausrechne bekomme ich für f(a*x1,a*x2) =
> a²*(x1²+x2²) raus, aber das ist ja nicht a*f(x1,x2)?
>
> edit: muss jetzt leider los, aber über ne Antwort würde
> ich mich dennoch freuen, vielen dank!
In [mm] C_2 [/mm] gilt für alle a die Gleichung [mm] a^2=a [/mm] .
Es wäre auch möglich, alle möglichen Fälle mittels
Wertetabellen nachzuprüfen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Di 01.12.2009 | | Autor: | Galboa |
Oke super, dann ist es linear. Vielen Dank!
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