Ist Menge ein Teilraum? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Do 05.10.2006 | | Autor: | romakege |
| Aufgabe | 1) [mm] M_1:=\begin{vmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{vmatrix}[/mm] [mm] \in \IR^2[/mm] [mm] 7x_1-5x_2=4 [/mm]
2) [mm] M_2:=\vec [/mm] x [mm] \in \IR^2[/mm] [mm] \left\langle \vec x, \begin{vmatrix}
7 \\
-5
\end{vmatrix} \right\rangle [/mm] = 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich hab mal ne generelle Frage zum Thema ist Menge ein Teilraum des R^...
Wie gehe ich da am besten ran? Ich weiß das man schauen muss, ob die Menge abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation mit einem Skalar ist. Aber das verstehe ich irgendwie nicht richtig. Bei manchen Bsp-Aufgaben scheint alles klar und dann bei der nächsten weiß ich nicht mehr was los ist. Könnte einer die beiden bitte mal mit Erklärung vorrechnen und für einen mathematischen Idioten erklären?
Hoffe auf eure Antworten.
Vielen Dank.
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Nun, du hast ein Element [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}, [/mm] welches die dahinterstehende Gleichung erfüllen muß, damit es zu der Menge dazu gehört.
Frage: erfüllt auch die Summe zweier Elemente [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}+\vektor{y_1 \\ y_2}=\vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2} [/mm] die Gleichung?
Sicher nicht. Es gilt
[mm] $7x_1-5x_2=4$
[/mm]
[mm] $7y_1-5y_2=4$
[/mm]
für zwei Elemente aus der Menge.
Das gleiche soll nun für
[mm] \vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2}
[/mm]
gelten. Also
[mm] $7(x_1+y_1)-5(x_2+y_2)=4$
[/mm]
Addierst du die beiden oben genannten Gleichungen, erhälst du exakt den linken Teil. Aber auf der rechten steht was anderes:
[mm] $7(x_1+y_1)-5(x_2+y_2)=8$
[/mm]
Damit ist das kein Teilraum wegen der Addition.
Multiplikation verläuf genauso: Der Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] wird mit einer Zahl [mm] \alpha [/mm] multipliziert, und muß dann auch die Gleichung erfüllen.
Wenn aber
[mm] $7x_1-5x_2=4$
[/mm]
gilt, gilt
[mm] $7\alpha x_1-5\alpha x_2=\alpha [/mm] 4$
Also ist die Menge auch wegen der Multiplikation kein Teilraum.
Die zweite Frage kannst du dir daher selbst beantworten: rechts steht 0, und dann paßt das in beiden Fällen, das ist also ein Teilraum!
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